Question

【題目】已知Rt△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），以AD為邊作Rt△ADE，AD=AE，連接CE．

（1）發(fā)現(xiàn)問題

如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，

①請(qǐng)寫出BD和CE之間的數(shù)量關(guān)系為________，位置關(guān)系為________；

②線段CE+CD=________AC；

（2）嘗試探究

如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，（1）中AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；

（3）拓展延伸

如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，若BC=4，CE=2，求線段CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①BD=CE，BD⊥CE；②；（2）成立，理由見解析；（3）6．

【解析】

試題分析：（1）證明：如圖1中，①∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵AD=AE，∠DAE=90°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ABC=∠ACE=45°，∴∠ECB=90°，∴BD⊥CE；

②結(jié)論：CE+CE=AC．理由：由①得BD=CE，∴BC=AC，∵BC=BD+CD=CE+CD，∴CE+CD=AC；

（2）解：如圖2中，存在數(shù)量關(guān)系為：CE=AC+CD；

理由：由（1）同理可得在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，在等腰直角三角形ABC中，BC=AC，∴BD=BC+CD=AC+CD，∴CE=AC+CD；

（3）解：由（1）同理在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∴CD=BC+BD=BC+CE．∵BC=4，CE=2，∴CD=6．