Question

（2006•哈爾濱）已知：二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，其中點A的坐標是（-1，0），與y軸負半軸交于點C，其對稱軸是直線x=，tan∠BAC=2．
（1）求二次函數y=ax²+bx+c的解析式；
（2）作圓O’，使它經過點A、B、C，點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交圓O’于點D，連接AD、BD，求△ACD的面積；
（3）在（2）的條件下，二次函數y=ax²+bx+c的圖象上是否存在點P，使得∠PDB=∠CAD？如果存在，請求出所有符合條件的P點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，所以A、B一定關于對稱軸x=對稱，已知A的坐標，就可以求出B的坐標．Rt△OAC中根據三角函數就可以求出OA、OC的長，得到C點的坐標．利用待定系數法就可以求出拋物線的解析式．
（2）A、B、C三點的坐標已知，可以證明△ABC是直角三角形，因而O′是AB的中點，則坐標可以求出．易證△ABD△AOF是等腰直角三角形，就可以求出CF的長，S_△ACD=S_△ACF+S_△DCF，而△ACF中CF邊上的高時A點的橫坐標的絕對值，△CFD的CF邊上的高是D點的橫坐標的絕對值．D點的坐標容易求出，因而△ACD的面積就可以得到．
（3）拋物線上存在點P，使得∠PDB=∠CAD．分兩種情況討論：①過點D作直線MN∥BC，交y軸于M．易證∠BDN=∠CAD，
直線MN與拋物線在D點右側的交點即為點P．求出直線MN的解析式，解直線的解析式與拋物線的解析式組成的方程組就可以求出P的坐標；②過點D作∠O’DG=∠O’BC，交x軸于G點．根據同弧所對的圓周角相等，可以證得∠DO’G=∠COB，則直線DG與拋物線在D點右側的交點即為P點．求出直線MN的解析式，解直線的解析式與拋物線的解析式組成的方程組就可以求出P的坐標；
解答：解：（1）∵A（-1，0）與點B關于直線x=對稱，
∴點B坐標為（4，0）
在Rt△OAC中，tan∠BAC=，
∵AO=1
∴OC=2，
∴C（0，-2）（1分）
∴（1分）
解得，
∴拋物線的解析式為：y=x²-x-2（1分）

（2）∵A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∴
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠BAC=∠BCO，
∴∠ACB=90°（1分）
∴AB為圓O’的直徑，O’點坐標為（，0），
∴∠ADB=90°
又∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD=∠ECD=45°，
∴∠DAB=45°，△ADB為等腰直角三角形．
連接O’D，則DO'=AB，DO’⊥AB，
∴，D點坐標為（）（1分）
設AD與y軸交于點F，
∵∠DAB=45°，
∴OF=OA=1，
∴CF=1
作DH⊥y軸于點H，
∵D（），
∴DH=，OH=
∴S_△ACD=S_△ACF+S_△DCF=×1×1+×1×=；（1分）

（3）拋物線上存在點P，使得∠PDB=∠CAD．分兩種情況討論：
①過點D作直線MN∥BC，交y軸于M．
∵MN∥BC，
∴∠BDN=∠CBD，∠OCB=∠HMD
又∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BDN=∠CAD，直線MN與拋物線在D點右側的交點即為點P．
∵∠OCB=∠HMD，∠COB=∠MHD=90°，
∴△HDM∽△OCB，
∴
∵
∴．
設直線MD的解析式為y=mx+n
則有，
解得，
直線MD的解析式為（1分）
∴
解得（舍）
∴（1分）
②過點D作∠O’DG=∠O’BC，交x軸于G點．
∵∠O’DB=∠O’BD=45°，
∴∠GDB=∠CBD=∠CAD
即直線DG與拋物線在D點右側的交點即為P點
又∵∠DO’G=∠COB，
∴△DO'G∽△BOC
∴
∴
∴G
設直線DG的解析式為y=px+q
則有，
解得，
∴直線DG的解析式為（1分）
∴，
解得（舍）
∴
∴符合條件的P點有兩個：．（1分）
點評：此題作為壓軸題，綜合了兩大重要知識，二次函數的和圓，難度較大，有利于使同學們養(yǎng)成耐心細致的學習習慣，頑強的意志品質．
命題立意：此題主要考查二次函數的解析式的求法，并將二次函數與圓相結合，綜合利用二次函數及圓的有關知識．