Question

已知p為質(zhì)數(shù)，使二次方程x²-2px+p²-5p-1=0的兩根都是整數(shù)，求出p的所有可能值．

Answer 1

【答案】分析：由于二次方程x²-2px+p²-5p-1=0的兩根都是整數(shù)，所以其判別式為完全平方數(shù)，然后利用完全平方數(shù)的性質(zhì)和整數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，也結(jié)合p為質(zhì)數(shù)分析得出p=3或7，然后即可得到方程的形式，利用方程分析所求p值是否成立即可解決問題．
解答：解：∵已知的整系數(shù)二次方程有整數(shù)根，
∴△=4p²-4（p²-5p-1）=4（5p+1）為完全平方數(shù)，
從而，5p+1為完全平方數(shù)
設(shè)5p+1=n²，注意到p≥2，故n≥4，且n為整數(shù)
∴5p=（n+1）（n-1），
則n+1，n-1中至少有一個是5的倍數(shù)，即n=5k±1（k為正整數(shù)）
∴5p+1=25k²±10k+1，p=k（5k±2），
由p是質(zhì)數(shù)，5k±2＞1，
∴k=1，p=3或7
當(dāng)p=3時，已知方程變?yōu)閤²-6x-7=0，解得x₁=-1，x₂=7；
當(dāng)p=7時，已知方程變?yōu)閤²-14x+13=0，解得x₁=1，x₂=13
所以p=3或p=7．
點(diǎn)評：此題主要考查了一元二次方程的判別式及方程的整數(shù)根的性質(zhì)，比較難，對于學(xué)生分析問題，解決問題的能力要求比較高，是一個競賽題，平時注意訓(xùn)練．