Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點O是邊BC上的動點，以點O為圓心，OB為半徑作圓O，交AB邊于點D，過點D作∠ODP=∠B，交邊AC于點P，交圓O與點E．設OB=x．
（1）當點P與點C重合時，求PD的長；
（2）設AP﹣EP=y，求y關于x的解析式及定義域；
（3）聯結OP，當OP⊥OD時，試判斷以點P為圓心，PC為半徑的圓P與圓O的位置關系．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，作AH⊥BC于H，CG⊥AB于G，

∵AB=AC=5，AH⊥BC，

∴BH=CH=3，AH=4，

∵ BCAH= ABCG，

∴CG= ，AG= = ，

∴cos∠B= ，cos∠BAC= ，

如圖2中，當點P與C重合時，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB=∠ACB，

∵∠ADO=∠B+∠BOD=∠CDO+∠ADP，∠ODP=∠B，

∴∠ADP=∠BOD=∠BAC，

∴PA=PD=5；

（2）解：如圖2中，作CG⊥AB于G，OH⊥BD于H．

∵AD=2AG= ，

∵BD=2BH=2OBcos∠B= x，

∴ x+ =5，

∴x= ，

如圖3中，當P、E重合時，作EG⊥AD于G．

根據對稱性可知，B、E關于直線OD對稱，

∴DB=DE=AE= x，

∵cos∠A= = ，

∴ = ，

解得x= ，

當點D與A重合時 x=5，

∴x= ，

當 ≤x≤ 時，如圖4中，

∵y=PA﹣PE=PD﹣PE=DE=BD= x，

∴y= x，

當 ＜x＜ 時，如圖5中，作PG⊥AB于G．

∵BD=DE= x，DG=AG= （5﹣ x），

∴AP=AG÷cos∠A= （5﹣ x），

∴y=AP﹣EP= （5﹣ x）﹣[ x﹣ （5﹣ x）]=﹣ x+ ，

綜上所述，y= ．

（3）解：如圖6中，連接OP．

連接OP，∵OP⊥AC，

∴cos∠C=cos∠B= = ，

∴ = ，

∴x= ，PC= ，OP= ，

∵ ＜ + ，

∴以點P為圓心，PC為半徑的圓P與圓O的位置關系是相交．

【解析】（1）如圖1中，首先求出cos∠B，cos∠A，如圖2中，當點P與C重合時，只要證明PA=PD即可；（2）如圖2中，作CG⊥AB于G，OH⊥BD于H．分兩種情形①當 ≤x≤ 時，如圖4中．②當 ＜x＜ 時，如圖5中，作PG⊥AB于G．（3）如圖6中，連接OP．根據cos∠C=cos∠B= = ，列出方程，求出兩圓的半徑，圓心距即可判斷．