Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，）三點．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）求證：點C在以AB為直徑的圓上；

（3）以BC為直徑作⊙P，點D為拋物線上一動點，是否存在點D使直線OD與⊙P相切？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）由條件可求得AC、BC、AB，可證明△ABC為直角三角形，可證得結論；

（3）由條件可先求得P點坐標，連接OD，由切線的性質可得到∠POB=∠AOD，過P作PE⊥AB于點E，過D作DF⊥AB于點F，設出D點坐標，根據(jù)tan∠BOP=tan∠ODF，再結合D點在拋物線上，可求得D點坐標．

【解答】（1）解：∵拋物線經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，）三點，

∴把三點坐標代入可得，

解得．

∴拋物線解析式為y=﹣x²+x+；

（2）證明：∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，），

∴OA=1，BO=3，OC=，

∴AB=4，

在Rt△AOB中，可求得AC=2，在Rt△BOC中可求得BC=2，

∴AC²+BC²=4+12=16=AB²，

∴∠ACB=90°，

∵AB為直徑，

∴點C在以AB為直徑的圓上；

（3）解：存在．理由如下：

∵B（3，0），C（0，）

∴P（，），

設直線OP解析式為y=kx，代入=k，解k=，

∴直線OP的y=x，

∴OD為⊙P的切線，

∴OD⊥OP，

∴直線OD的解析式為y=﹣x，

聯(lián)立直線OD和拋物線解析式，解得或，

∴D點坐標為（，）或（，），

綜上可知存在滿足條件的D點，其坐標為（，）或（，）．

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、勾股定理及其逆定理、圓周角定理、切線的性質等知識點．在（1）中注意待定系數(shù)法的步驟，在（2）中證得∠ACB為直角是解題的關鍵，在（3）中求得直線OD的解析式是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．