Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的⊙O的半徑為-1，直線l：y=-x-分別與x軸、y軸交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1），⊙B與x軸相切于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及∠CAO的度數(shù)；
（2）⊙B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸負(fù)方向平移，那么經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間⊙B與⊙O第一次相切？
（3）在⊙B移動(dòng)的同時(shí)，直線l繞點(diǎn)A順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)．當(dāng)⊙B第一次與⊙O相切時(shí)，直線l也恰好與⊙B第一次相切．問：直線AC繞點(diǎn)A每秒旋轉(zhuǎn)多少度？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)當(dāng)y=0時(shí)，x=-，得出A點(diǎn)坐標(biāo)即可，再利用當(dāng)x=0時(shí)，y=-，得出OA=OC，進(jìn)而求出∠CAO的度數(shù)；
（2）利用切線的性質(zhì)定理首先得出MN=t，OB₁=-1+1=，B₁N⊥AN，再利用勾股定理得出MN的長(zhǎng)度即可；
（3）設(shè)⊙B平移到⊙B₁處與⊙O第一次相切時(shí)，直線l旋轉(zhuǎn)到l'恰好與⊙B₁第一次相切于點(diǎn)P，得出∠PAN=45°，進(jìn)而求出∠1=90°，即可得出直線AC繞點(diǎn)A每秒順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度數(shù)．
解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x=-．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-，0）．
∴OA=．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-．
∴OC=．
∴OA=OC．
又∠AOC=90°．
∴∠CAO=∠ACO==45°．

（2）如圖，設(shè)⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，
⊙B₁與x軸相切于點(diǎn)N，連接B₁O、B₁N，
則MN=t，OB₁=-1+1=，B₁N⊥AN．
在Rt△OB₁N中，由勾股定理，得
ON===1．
∴MN=4-1=3，
即t=3．

（3）設(shè)⊙B平移到⊙B₁處與⊙O第一次相切時(shí)，直線l旋轉(zhuǎn)到l'恰好與⊙B₁第一次相切于點(diǎn)P，
連接B₁A、B₁P．
則B₁P⊥AP，
∴B₁P=B₁N．
∴∠PAB₁=∠NAB₁．
∵OA=OB₁=，
∴∠AB₁O=∠NAB₁．
∴∠PAB₁=∠AB₁O．
∴PA∥B₁O．
在Rt△NOB₁中，
∵ON=B₁N，
∴∠B₁ON=45°，
∴∠PAN=45°，
∴∠1=90°．
360°-90°=270°，
∴直線AC繞點(diǎn)A每秒順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為270°÷3=90°．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及勾股定理和一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法等知識(shí)，正確利用切線的性質(zhì)定理得出相關(guān)直線關(guān)系是解題關(guān)鍵．