Question

已知矩形紙片OBCD，OB=2，OD=1．如圖①②，將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，使頂點O與邊CD上的點E重合．

（Ⅰ）如圖①，折痕FG分別與OD、OB交于點F、G，且，求點E的坐標；
（Ⅱ）如圖②，折痕FG分別與CD、OB交于點F、G，過O、D、E三點的圓恰與直線BC相切于點N，OE與FG交于點P．
①求點E的坐標；
②求折痕FG的長．

Answer 1

【答案】分析：（I）首先求出DF的長，進而利用勾股定理得出DE的長，即可得出E點坐標；
（II）①首先證明四邊形OBNM是矩形，進而得出△OMP∽△ODE，利用勾股定理求出DE的長，即可得出E點坐標；
②首先得出△EFP∽△EOD，進而得出PF的長，再利用△FEP≌△GOP，即可得出折痕FG的長．
解答：解：（Ⅰ）∵OD=1，，
∴．
∵折疊后點O與點E重合，
∴△EFG≌△OFG．
∴．
∵四邊形OBCD是矩形，
∴∠ODC=90°．
在Rt△DEF中，．
∴點E的坐標為（，1）．                   

（Ⅱ）①如圖所示，連接NP，并延長交OD于點M，
∵折疊后點O與點E重合，且FG是折痕，
∴PO=PE．
∵∠ODC=90°，
∴OE是過O、D、E三點的圓的直徑，點P是圓心．
∵BC切⊙P于點N，∴∠DOB=∠OBC=∠BNM=90°．
∴四邊形OBNM是矩形．
∴MN=OB=2，且MN∥OB．
∵DC∥OB，∴DC∥MN．
∴△OMP∽△ODE．
∴．
∴．
設DE=x，則，．
在⊙P中，，
∴OE=2PE=4-x．
在Rt△ODE中，由OD²+DE²=OE²，
得1²+x²=（4-x）²．
解得．
即．
∴點E的坐標（，1）．                   

②．
∵折疊后點O與點E重合，且FG是折痕，
∴OE⊥FG．
∴∠EPF=∠EDO=90°．
∵∠FEP=∠OED，
∴△EFP∽△EOD．
∴．
∴．
∵DC∥OB，
∴∠FEP=∠GOP，∠EFP=∠OGP．
，
∴△FEP≌△GOP（AAS）．
∴FP=GP．
∴．
∴折痕FG的長是．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出PF的長是解題關(guān)鍵．