Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，將它的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比稱為點(diǎn)的“理想值”，記作．如的“理想值”．

（1）①若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的“理想值”等于_______；

②如圖，，的半徑為1．若點(diǎn)在上，則點(diǎn)的“理想值”的取值范圍是_______．

（2）點(diǎn)在直線上，的半徑為1，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)都有，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；

（3），是以為半徑的上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，畫出滿足條件的最大圓，并直接寫出相應(yīng)的半徑的值．（要求畫圖位置準(zhǔn)確，但不必尺規(guī)作圖）

Answer 1

【答案】（1）①﹣3；②；（2）；（3）

【解析】

（1）①把Q（1，a）代入y=x-4,可求出a值，根據(jù)理想值定義即可得答案；②由理想值越大，點(diǎn)與原點(diǎn)連線與軸夾角越大，可得直線與相切時(shí)理想值最大，與x中相切時(shí)，理想值最小，即可得答案；（2）根據(jù)題意，討論與軸及直線相切時(shí)，LQ 取最小值和最大值，求出點(diǎn)橫坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)題意將點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線，點(diǎn)理想值最大時(shí)點(diǎn)在上，分析圖形即可．

（1）①∵點(diǎn)在直線上，

∴，

∴點(diǎn)的“理想值”=-3，

故答案為：﹣3.

②當(dāng)點(diǎn)在與軸切點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的“理想值”最小為0.

當(dāng)點(diǎn)縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)比值最大時(shí)，的“理想值”最大，此時(shí)直線與切于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)Q（x，y），與x軸切于A，與OQ切于Q，

∵C（，1），

∴tan∠COA==，

∴∠COA=30°，

∵OQ、OA是的切線，

∴∠QOA=2∠COA=60°，

∴=tan∠QOA=tan60°=，

∴點(diǎn)的“理想值”為，

故答案為：.

（2）設(shè)直線與軸、軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，點(diǎn)，

當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

當(dāng)y=0時(shí)，x+3=0，解得：x=，

∴，．

∴，，

∴tan∠OAB=，

∴．

∵，

∴①如圖，作直線．

當(dāng)與軸相切時(shí)，LQ=0，相應(yīng)的圓心滿足題意，其橫坐標(biāo)取到最大值．

作軸于點(diǎn)，

∴，

∴．

∵的半徑為1，

∴．

∴，

∴．

∴．

②如圖

當(dāng)與直線相切時(shí)，LQ=，相應(yīng)的圓心滿足題意，其橫坐標(biāo)取到最小值．

作軸于點(diǎn)，則．

設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為．

∵直線中，k=，

∴，

∴，點(diǎn)F與Q重合，

則．

∵的半徑為1，

∴．

∴．

∴，

∴．

∴．

由①②可得，的取值范圍是．

（3）∵M（2，m），

∴M點(diǎn)在直線x=2上，

∵，

∴LQ取最大值時(shí)，=，

∴作直線y=x，與x=2交于點(diǎn)N，

當(dāng)M與ON和x軸同時(shí)相切時(shí)，半徑r最大，

根據(jù)題意作圖如下：M與ON相切于Q，與x軸相切于E，

把x=2代入y=x得：y=4，

∴NE=4，OE=2，ON==6，

∴∠MQN=∠NEO=90°，

又∵∠ONE=∠MNQ，

∴，

∴，即，

解得：r=.

∴最大半徑為.