Question

【題目】如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上一點(diǎn)，正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上，另一邊DE過(guò)△ABC的內(nèi)切圓圓心O，且點(diǎn)E在半圓上．

（1）當(dāng)正方形的頂點(diǎn)F也在半圓弧上時(shí)，半圓的半徑與正方形邊長(zhǎng)的比為　 　；

（2）當(dāng)正方形DEFG的面積為100，且△ABC的內(nèi)切圓⊙O的半徑r＝4，求半圓的直徑AB的值；

（3）若半圓的半徑為R，直接寫出⊙O半徑r可取得的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）AB＝21；（3）

【解析】

（1）根據(jù)圓和正方形的對(duì)稱性可知：，在直角三角形FGH中，利用勾股定理可得，從而用含a的代數(shù)式表示半圓的半徑為，正方形邊長(zhǎng)為2a，所以可求得半圓的半徑與正方形邊長(zhǎng)的比；

（2）切點(diǎn)分別為I，J，連接EB、AE，OJ、OI，可得OJCI是正方形，且邊長(zhǎng)是4，可設(shè)BD＝x，AD＝y，則BD＝BJ＝x，AD＝AI＝y，分別利用直角三角形ABC和直角三角形AEB中的勾股定理和相似比作為相等關(guān)系列方程組求解即可求得半圓的直徑AB＝21．

（3）根據(jù)（2）中得出方程解答即可．

解：（1）如圖，根據(jù)圓和正方形的對(duì)稱性可知：，

H為半圓的圓心，

不妨設(shè)GH＝a，則GF＝2a，

在直角三角形FGH中，由勾股定理可得，由此可得，半圓的半徑為，正方形邊長(zhǎng)為2a，

所以半圓的半徑與正方形邊長(zhǎng)的比是；

（2）因?yàn)檎�方�?/span>DEFG的面積為100，所以正方形DEFG邊長(zhǎng)為10．

切點(diǎn)分別為I，J，連接EB、AE，OI、OJ，

∵AC、BC是⊙O的切線，

∴CJ＝CI，∠OJC＝∠OIC＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴四邊形OICJ是正方形，且邊長(zhǎng)是4，

設(shè)BD＝x，AD＝y，則BD＝BI＝x，AD＝AJ＝y，

在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2＝（x+y）2①；

在直角三角形AEB中，

∵∠AEB＝90°，ED⊥AB，

∴△ADE∽△BDE∽△ABE，

∴ 即ED2＝ADBD，即102＝xy②．

解①式和②式，得x+y＝21，

即半圓的直徑AB＝21；

（3）由（2）可得：，

當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合且為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，⊙O半徑r可取得的最大值為．