(2010•歷下區(qū)三模)(1)如圖,等腰梯形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,E是梯形外一點,且EA=ED,試說明EB=EC;
(2)如圖,點D在⊙O的直徑AB的延長線上,點C在⊙O上,AC=CD,∠D=30°,
①求證:CD是⊙O的切線;
②若⊙O的半徑為3,求弧BC的長.(結果保留π)

【答案】分析:(1)構造全等三角形,△ABE≌△DCE,根據(jù)已知可知,AB=DC,AE=DE,若再求出∠BAE=∠CDE,就可利用SAS證明△ABE≌△DCE,那么EB=EC.關鍵是求出∠BAE=∠CDE,先利用四邊形ABCD是等腰梯形,那么∠BAD=∠CDA,而EA=ED,利用等邊對等角,可得∠EAD=∠EDA,于是再利用等式性質,可求∠BAE=∠CDE;

(2)①連接OC,由于CA=CD,∠D=30°,那么∠A=∠D=30°,利用三角形內角和等于180°,可得∠ACD=120°,又由于OA=OC,那沒人∠OCA=∠A=30°,于是可求∠OCD=90°,即CD是⊙O的切線.
②由OA=OC,∠A=30°,那么可知∠COD=60°,而r=3,利用弧長公式可求弧BC=π.
解答:(1)證明:在等腰梯形ABCD中,
∵AB=CD,AD∥BC,
∴∠BAD=∠ADC,
∵EA=ED,
∴∠EAD=∠EDA,
∴∠BAE=∠EDC,(1分)
在△ABE和△CDB中,
∵AB=DC,∠BAE=∠EDC,EA=ED,
∴△ABE≌△CDE,(2分)
∴EB=EC;(3分)

(2)解:①連接OC,
∵AC=CD,∠D=30°,
∴∠A=30°,∠ACD=12O°,(1分)
∵OA=OC,
∴∠ACO=30°,
∴∠OCD=90°,
∴CD是⊙O的切線;(2分)
②∵OA=OC,∠A=30°,
∴∠OCD=60°,(3分)
∵r=3,
∴弧BC=π×3=π.
點評:本題利用了等腰梯形的性質、等式性質、全等三角形的判定和性質、等邊對等角、切線的判定、三角形外角性質、弧長計算公式.
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