Question

【題目】如圖，等腰Rt△BPQ的頂點P在正方形ABCD的對角線AC上（P與AC不重合），∠PBQ=90°，QP與BC交于E,QP延長線交AD于F，連CQ.

(1)①求證：AP=CQ ；

②求證：

(2)當時，求的值.

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）

【解析】

（1）①證出∠ABP=∠CBQ，由SAS證明△ABP≌△CBQ可得結論；
②根據正方形的性質和全等三角形的性質得到∠DAC=∠BAC，∠APF=∠ABP，即可證得△APF∽△ABP，再根據相似三角形的性質即可求解；

（2）設正方形邊長為，根據已知條件可求得PA的長，再根據第(1)②的結論可求得AF的長，從而求得答案.

證明：

（1）①∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∵△PBQ為等腰直角三角形，

∴∠PBQ=90°，PB=BQ，

∵∠ABP+∠BPC =∠BPC+∠CBQ=，

∴∠ABP=∠CBQ，

在△ABP與△CBQ中，

，

∴△ABP≌△CBQ，

∴AP=CQ；

②如圖，

∵∠CPB=∠3+∠4=∠1+∠2，

∵∠4=∠1=45°，

∴∠3=∠2，

∴∠5=∠2，

∵∠6=∠1=45°，

∴△PFA∽△BPA，

∴，

∴ 即；

(2)設正方形邊長為，則，

∵，

∴，

∴PA=，

∵，

∴，

解得：AF=，

∴DF=，

∴.