Question

【題目】如圖，A（0，4）是直角坐標(biāo)系y軸上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正半軸運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，以P為直角頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰Rt△APB．設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）若AB//x軸，求t的值；

（2）當(dāng)t=3時(shí)，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)M（不與A重合），使得以M、P、B為頂點(diǎn)的三角形和△ABP全等，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

Answer 1

【答案】(1)4;(2) （4，7）或（10，-1）或（6，-4）或（0，4）.

【解析】

（1）由AB∥x軸，可找出四邊形ABCO為長(zhǎng)方形，再根據(jù)△APB為等腰三角形可得知∠OAP=45°，從而得出△AOP為等腰直角三角形，由此得出結(jié)論；
（2）由全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論，注意分類討論．

解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，如圖所示．

∵AO⊥x軸，BC⊥x軸，且AB∥x軸，
∴四邊形ABCO為長(zhǎng)方形，
∴AO=BC=4．
∵△APB為等腰直角三角形，
∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，
∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，
∴△AOP為等腰直角三角形，
∴OA=OP=4．
∴t=4÷1=4（秒），
故t的值為4．
（2）當(dāng)t=3時(shí)，OP=3．
∵OA=4，
∴由勾股定理，得
AP==5．
∴AP=PB=5，AB=5,
∴當(dāng)△MPB≌△ABP時(shí)，此時(shí)四邊形APBM1是正方形，四邊形APBM3是平行四邊形，易得M1（4，7）、M3（10，-1）；
當(dāng)△MPB≌△APB時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M2與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，易得M2（6，-4）．
當(dāng)兩個(gè)三角形重合時(shí)，此時(shí)符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，4）；
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，7）或（10，-1）或（6，-4）或（0，4）；