Question

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若點D，點E分別是弧AB的三等分點，當(dāng)AD=5時，求BF的長；
（3）填空：在（2）的條件下，如果以點C為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點到點O的距離為5，則r的取值范圍為______．

Answer 1

（1）證明：如圖，∵∠CBF=∠CFB，
∴CB=CF．
又∵AC=CF，
∴CB=AF，
∴△ABF是直角三角形，
∴∠ABF=90°，即AB⊥BF．
又∵AB是直徑，
∴直線BF是⊙O的切線．

（2）解：如圖，連接DO，EO，
∵點D，點E分別是弧AB的三等分點，
∴∠AOD=60°．
又∵OA=OD，
∴△AOD是等邊三角形，
∴OA=AD=OD=5，∠OAD=60°，
∴AB=10．
∴在Rt△ABF中，∠ABF=90°，BF=AB•tan60°=10，即BF=10；

（3）如圖，連接OC．則OC是Rt△ABF的中位線，
∵由（2）知，BF=10，
∴圓心距OC=，
∵⊙O半徑OA=5．
∴＜r＜．
故填：＜r＜．
分析：（1）欲證明直線BF是⊙O的切線，只需證明AB⊥BF；
（2）根據(jù)圓心角、弧、弦間的關(guān)系，等邊三角形的判定證得△AOD是等邊三角形，所以在Rt△ABF中，∠ABF=90°，∠OAD=60°，AB=10，則利于∠A的正切三角函數(shù)的定義來求BF邊的長度；
（3）根據(jù)已知條件知⊙O與⊙C相交．
點評：本題綜合考查了圓心角、弧、弦間的關(guān)系，切線的判定與性質(zhì)，相交兩圓的性質(zhì)，直角三角形的判定與性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值等知識點．切線判定定理中所闡述的由位置來判定直線是圓的切線的兩大要素：一是經(jīng)過半徑外端；二是直線垂直于這條半徑；學(xué)生開始時掌握不好并極容易忽視．