Question

（2010•金平區(qū)模擬）（1）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，⊙O的弦AE交于BC于D．求證：AB•AC=AD•AE；
（2）在（1）的條件下當(dāng)弦AE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D時(shí)，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明．若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明AB•AC=AD•AE成立，只要能證得，要用AB=AC，結(jié)合圓，等弧對(duì)等角，觀察本題無平行關(guān)系，首先考慮三角形的相似．連接CE，可證明△AEC∽△ACD，問題解決．
（2）假設(shè)結(jié)論仍成立，考慮作輔助線，看是否有三角形相似，能說明與AB•AC=AD•AE有關(guān)的成比例的線段關(guān)系．連接BE，可證得△AEB∽△ABD，進(jìn)而可使問題解決．
解答：（1）證明：連接CE，
∵AB=AC，
∴，
∴∠AEC=∠ACD；
又∵∠EAC=∠DAC，
∴△AEC∽△ACD，
∴，即AC²=AD•AE；
又∵AB=AC，
∴AB•AC=AD•AE．

（2）答：上述結(jié)論仍成立．
證明：連接BE，
∵AB=AC，
∴，
∴∠AEB=∠ABD；
又∵∠EAB=∠DAB
∴△AEB∽△ABD，
∴，即AB²=AD•AE．
又∵AB=AC，
∴AB•AC=AD•AE．
點(diǎn)評(píng)：有三角形和圓，證明線段成比例關(guān)系時(shí)，先想到三角形相似，條件不全時(shí)，應(yīng)考慮作輔助線．