Question

（2013•東城區(qū)二模）定義：P，Q分別是兩條線(xiàn)段a和b上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的最小值叫做線(xiàn)段a與線(xiàn)段b的距離．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐標(biāo)系中的四點(diǎn)．
（1）根據(jù)上述定義，當(dāng)m=2，n=2時(shí)，如圖1，線(xiàn)段BC與線(xiàn)段OA的距離是

2

；
當(dāng)m=5，n=2時(shí)，如圖2，線(xiàn)段BC與線(xiàn)段OA的距離是

5

．
（2）如圖3，若點(diǎn)B落在圓心為A，半徑為2的圓上，求線(xiàn)段BC與線(xiàn)段OA的距離d．
（3）當(dāng)m的值變化時(shí)，動(dòng)線(xiàn)段BC與線(xiàn)段OA的距離始終為2，若線(xiàn)段BC的中點(diǎn)為M，直接寫(xiě)出點(diǎn)M隨線(xiàn)段BC運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的周長(zhǎng)

16+4π

．

Answer 1

分析：（1）m=2時(shí)，線(xiàn)段OA與線(xiàn)段BC間的距離即為兩線(xiàn)段的距離；m=5時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，求出AD的長(zhǎng)，然后利用勾股定理列式求出AB，即為線(xiàn)段OA與線(xiàn)段BC的距離；
（2）先確定出2≤m≤6，再分2≤m≤4時(shí)，d等于兩平行線(xiàn)間的距離，（或過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OA于E，求出AE的長(zhǎng)，再利用勾股定理列式求出BE的長(zhǎng)，即為兩線(xiàn)段的距離）；4≤m≤6，d等于點(diǎn)B與點(diǎn)A的距離，即為⊙A的半徑；
（3）根據(jù)線(xiàn)段與線(xiàn)段的距離的定義畫(huà)出圖形，可得點(diǎn)M形成的圖形是兩條線(xiàn)段和兩個(gè)半圓，再分別求解即可．

解答：解：（1）當(dāng)m=2，n=2時(shí)，線(xiàn)段BC與線(xiàn)段OA的距離等于平行線(xiàn)間的距離，即為2；
當(dāng)m=5，n=2時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2），線(xiàn)段BC與線(xiàn)段OA的距離，即為線(xiàn)段AB的長(zhǎng)，
如圖，

過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，則AD=5-4=1，BD=2，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=

AD2+BD2

=

12+22

=

5

；

（2）如圖，

當(dāng)點(diǎn)B落在⊙A上時(shí)，m的取值范圍為2≤m≤6：
①當(dāng)2≤m＜4時(shí)，d=|n|（-2≤n≤2），
或：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，線(xiàn)段BC與線(xiàn)段OA的距離等于BE長(zhǎng)，
OE=m，AE=OA-OE=4-m，
在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得，d=

AB2-AE2

=

22-(4-m)2

=

-m2+8m-12

；
②當(dāng)4≤m≤6，顯然線(xiàn)段BC與線(xiàn)段OA的距離等于⊙A半徑，即d=2；
 
（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，點(diǎn)M形成的圖形為圖中紅線(xiàn)表示的封閉圖形，

由圖可見(jiàn)，封閉圖形由上下兩段長(zhǎng)度為8的線(xiàn)段，以及左右兩側(cè)半徑為2的半圓所組成，
其周長(zhǎng)為：2×8+2×π×2=16+4π，
∴點(diǎn)M隨線(xiàn)段BC運(yùn)動(dòng)所圍成的封閉圖形的周長(zhǎng)為：16+4π．
故答案為：（1）2，

5

；（2）當(dāng)2≤m≤4時(shí)，d=|n|（-2≤n≤2）或

-m2+8m-12

；當(dāng)4≤m≤6時(shí)，d=2；（3）16+4π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題型，主要利用了勾股定理，讀懂題目信息，理解線(xiàn)段與線(xiàn)段的距離的定義是解題的關(guān)鍵，（3）根據(jù)動(dòng)線(xiàn)段BC與線(xiàn)段OA的距離始終為2畫(huà)出點(diǎn)M形成的圖形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．