Question

【題目】在平面直角坐標系中，我們不妨把橫坐標和縱坐標相等的點叫“夢之點”，例如點（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“夢之點”，顯然“夢之點”有無數(shù)個．

（1）若點P（2，m）是反比例函數(shù)y＝（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上的“夢之點”，求這個反比例函數(shù)的解析式；

（2）函數(shù)y＝3kx+s﹣1（k，s為常數(shù)）的圖象上存在“夢之點”嗎？若存在，請求出“夢之點”的坐標，若不存在，說明理由；

（3）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個“夢之點”A（x1，x1），B（x2，x2），且滿足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣b+，試求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）存在，坐標為（，）；（3）t＞．

【解析】

（1）根據(jù)“夢之點”的定義得出m的值，代入反比例函數(shù)的解析式求出n的值即可；

（2）根據(jù)夢之點的橫坐標與縱坐標相同，可得關于x的方程，根據(jù)解方程，可得答案；

（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，則x2，x2為此方程的兩個不等實根，由|x1﹣x2|＝2得到﹣2＜x1＜0時，根據(jù)0≤x1＜2得到﹣2≤x2＜4；由于拋物線y＝ax2+（b﹣1）x+1的對稱軸為x＝，于是得到﹣3＜＜3，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得到結論．

解：（1）∵點P（2，m）是反比例函數(shù)y＝（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上的“夢之點”，

∴m＝2，

∴P（2，2），

∴n＝2×2＝4，

∴這個反比例函數(shù)的解析式為y＝；

（2）由y＝3kx+s﹣1得當y＝x時，（1﹣3k）x＝s﹣1，

當k＝且s＝1時，x有無數(shù)個解，此時的“夢之點”存在，有無數(shù)個；

當k＝且s≠1時，方程無解，此時的“夢之點”不存在；

當k≠，方程的解為x＝，此時的“夢之點”存在，坐標為（，）；

（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，則x2，x2為此方程的兩個不等實根，

由|x1﹣x2|＝2，又﹣2＜x1＜2得：﹣2＜x1＜0時，﹣4＜x2＜2；0≤x1＜2時，﹣2≤x2＜4；

∵拋物線y＝ax2+（b﹣1）x+1的對稱軸為x＝，故﹣3＜＜3，

由|x1﹣x2|＝2，得：（b﹣1）2＝4a2+4a，故a＞；t＝b2﹣b+＝（b﹣1）2+，

y＝4a2+4a+＝4（a+）2+，當a＞﹣時，t隨a的增大而增大，當a＝時，t＝，

∴a＞時，t＞．