Question

一次函數y=

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x+2的圖象與x軸、y軸分別交于A、B，以AB為邊在第二象限內作等邊△ABC．
（1）求C點坐標；
（2）在第二象限內有一點M（m，1），使S_△ABC=S_△ABM，求M點坐標；
（3）點C′（2，0），在直線AB上是否存在一點P，使△AC′P為等腰三角形？若存在，求P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據函數的關系式我們可求出A，B兩點的坐標為（-2

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，0），（0，2），OA=2

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，OB=2，因此∠OAB=30°，因為三角形CAB是個等邊三角形，因此∠CAB=60°，那么CA⊥OA，C點的橫坐標就是A點的橫坐標，如果求出CA的長那么就能求出C點的坐標了，根據AC=AB，有OA、OB的長，根據勾股定理我們可求出AB的長，也就求出AC的長，那么C點的坐標就求出來了．
（2）根據S_△ABC=S_△ABM，兩三角形同底，也應該等高，因此M與C必在與AB平行的直線上，因此這條直線的斜率與已知的函數的斜率相同，可用C點坐標先確定MC所在直線的函數關系式，然后將M的坐標代入其中求出M的坐標．
（3）可分三種情況進行討論：
①以P為頂點，AP、C′P為腰，圖1，過P作PD⊥AC，PD就是線段AC′的垂直平分線，AD=DC′=1+

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，
OD=C′D-OC′=

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-1，那么P的橫坐標就是1-

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，代入函數式中即可求出P的坐標為（1-

3

，

3

3

+1）
②以A為頂點，AP，AC′為腰．圖2可過P₁作P₁E⊥x軸于E，由（1）知，∠BAO的度數，又可根據A，C′的坐標求出AC′的長，那么在直角三角形AP₁E中就能求出P₁E和AE的長，那么就能求出P₁的坐標了，P₂的求法同P₁．
③以C′為頂點，以AC•C′P為腰．圖3，求法同第二種情況．

解答：解：（1）根據直線的函數關系式，我們可得出A點的坐標為（-2

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，0），B點的坐標為（0，2），
那么OA=2

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，OB=2，直角三角形ABO中，AG=

OA2+OB2

=4，∠BAO=30°，
根據三角形ABC是個等邊三角形，因此∠CAB=60°．∠CAO=∠CAB+∠BAO=90°，
因此C點的橫坐標應該和A點相同，
∵CA=AB=BC，
∴AC=AB=4，
那么C點的坐標為（-2

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，4）．

（2）由題意可知，C與M必在與AB平行的直線上，設這條直線為y=

3

3

x+b，
將C點的坐標代入這條直線中得：-2+b=4，b=6，
因此這條直線的解析式是y=

3

3

x+6，
當y=1時，

3

3

m+6=1，m=-5

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，
因此M點的坐標為（-5

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，1），

（3）分三種情況：
①以P為頂點，AP，PC′為腰，此時P點的坐標是（1-

3

，

3

3

+1），
②以A為頂點，AP、AC′為腰，此時P點的坐標是（-3-

3

，-

3

-1）或（3-

3

，

3

+1），
③以C′為頂點，AC′，C′P為腰，此時P點的坐標是（

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+3，3+3

3

），
因此存在這樣的點P，且P的坐標為（1-

3

，

3

3

+1）或（-3-

3

，-

3

-1）或（3-

3

，

3

+1）或（

3

+3，3+3

3

）．

點評：本題綜合考查了一次函數和直角三角形的應用，本題中利用直角三角形來求線段的長，從而得出點的坐標是解題的基本思路．要注意第三問中要把所有的情況都考慮到，不要遺漏任何一種情況．