Question

10、若p是質數，并且8p²+1也是質數，求證：8p²-p+2也是質數．

Answer 1

分析：由于最小的質數是2，故分別把2、3代入8p²+1找出符合條件的質數，再把p＞3時的質數分p=3k+1或p=3k+2（k是不小于1的整數）兩種情況分別代入8p²+1檢驗，求出當p＞3時的質數均不適合8p²+1也是質數，原命題得證．

解答：解：當p=2時，8p²+1=33不是質數，所以p＞2；
而當p=3時，8p²+1=73是質數，8p²-p+2=71也是質數，符合題意．
當p＞3時，質數p就不是3的倍數，不妨設p=3k+1或p=3k+2（k是不小于1的整數），
則8p²+1=8（3k+1）²+1=3（24k²+16k+3）是合數；
或8p²+1=8（3k+2）²+1=3（24k²+32k+11）也是合數．
所以p既不是3k+1型質數，也不是3k+2型質數．
因此p=3，所以原命題成立．

點評：本題考查的是質數與合數，解答此題的關鍵是熟知最小的質數是2，大于3的質數可寫成p=3k+1或p=3k+2（k是不小于1的整數）兩種形式．