邊長為a的等邊三角形,記為第1個等邊三角形,取其各邊的三等分點,順次連接得到一個正六邊形,記為第1個正六邊形,取這個正六邊形不相鄰的三邊中點,順次連接又得到一個等邊三角形,記為第2個等邊三角形,取其各邊的三等分點,順次連接又得到一個正六邊形,記為第2個正六邊形(如圖),…,按此方式依次操作,則第6個正六邊形的邊長為( )

A.
B.
C.
D.
【答案】分析:連接AD、DB、DF,求出∠AFD=∠ABD=90°,根據(jù)HL證兩三角形全等得出∠FAD=60°,求出AD∥EF∥GI,過F作FZ⊥GI,過E作EN⊥GI于N,得出平行四邊形FZNE得出EF=ZN=a,求出GI的長,求出第一個正六邊形的邊長是a,是等邊三角形QKM的邊長的;同理第二個正六邊形的邊長是等邊三角形GHI的邊長的;求出第五個等邊三角形的邊長,乘以即可得出第六個正六邊形的邊長.
解答:解:連接AD、DF、DB,
∵六邊形ABCDEF是正六邊形,
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE,AB=AF,∠E=∠C=120°,EF=DE=BC=CD,
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°,
∵∠AFE=∠ABC=120°,
∴∠AFD=∠ABD=90°,
在Rt△ABD和RtAFD中

∴Rt△ABD≌Rt△AFD,
∴∠BAD=∠FAD=×120°=60°,
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°,
∴AD∥EF,
∵G、I分別為AF、DE中點,
∴GI∥EF∥AD,
∴∠FGI=∠FAD=60°,

∵六邊形ABCDEF是正六邊形,△QKM是等邊三角形,
∴∠EDM=60°=∠M,
∴ED=EM,
同理AF=QF,
即AF=QF=EF=EM,
∵等邊三角形QKM的邊長是a,
∴第一個正六邊形ABCDEF的邊長是a,即等邊三角形QKM的邊長的,
過F作FZ⊥GI于Z,過E作EN⊥GI于N,
則FZ∥EN,
∵EF∥GI,
∴四邊形FZNE是平行四邊形,
∴EF=ZN=a,
∵GF=AF=×a=a,∠FGI=60°(已證),
∴∠GFZ=30°,
∴GZ=GF=a,
同理IN=a,
∴GI=a+a+a=a,即第二個等邊三角形的邊長是a,與上面求出的第一個正六邊形的邊長的方法類似,可求出第三個正六邊形的邊長是×a;
同理第第三個等邊三角形的邊長是×a,與上面求出的第一個正六邊形的邊長的方法類似,可求出第三個正六邊形的邊長是××a;
同理第四個等邊三角形的邊長是××a,第四個正六邊形的邊長是×××a;
第五個等邊三角形的邊長是×××a,第五個正六邊形的邊長是××××a;
第六個等邊三角形的邊長是××××a,第六個正六邊形的邊長是×××××a,
即第六個正六邊形的邊長是×a,
故選A.
點評:本題考查了正六邊形、等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,能總結(jié)出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵,題目具有一定的規(guī)律性,是一道有一定難度的題目.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,邊長為2
3
的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O,點D在
AC
上運動,但與A、C兩點不精英家教網(wǎng)重合,連接AD并延長交BC的延長結(jié)于P.
(1)求⊙O的半徑;
(2)設(shè)AD為x,AP為y,寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;
(3)D點在運動過程中是否存在這樣的位置,使得△BDP成為以DB、DP為腰的等腰三角形?若存在,請你求出此時AD的值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

27、閱讀:我們把邊長為1的等邊三角形PQR沿著邊長為整數(shù)的正n(n>3)邊形的邊按照如圖1的方式連續(xù)轉(zhuǎn)動,當(dāng)頂點P回到正n邊形的內(nèi)部時,我們把這種狀態(tài)稱為它的“點回歸”;當(dāng)△PQR回到原來的位置時,我們把這種狀態(tài)稱為它的“三角形回歸”.
例如:如圖2,

邊長為1的等邊三角形PQR的頂點P在邊長為1的正方形ABCD內(nèi),頂點Q與點A重合,頂點R與點B重合,△PQR沿著正方形ABCD的邊BC、CD、DA、AB…連續(xù)轉(zhuǎn)動,當(dāng)△PQR連續(xù)轉(zhuǎn)動3次時,頂點P回到正方形ABCD內(nèi)部,第一次出現(xiàn)P的“點回歸”;當(dāng)△PQR連續(xù)轉(zhuǎn)動4次時△PQR回到原來的位置,出現(xiàn)第一次△PQR的“三角形回歸”.
操作:如圖3,

如果我們把邊長為1的等邊三角形PQR沿著邊長為1的正五邊形ABCDE的邊連續(xù)轉(zhuǎn)動,則連續(xù)轉(zhuǎn)動的次數(shù)
k=
3
時,第一次出現(xiàn)P的“點回歸”;連續(xù)轉(zhuǎn)動的次數(shù)k=
5
時,第一次出現(xiàn)△PQR的“三角形回歸”.
猜想:
我們把邊長為1的等邊三角形PQR沿著邊長為1的正n(n>3)邊形的邊連續(xù)轉(zhuǎn)動,
(1)連續(xù)轉(zhuǎn)動的次數(shù)k=
3
時,第一次出現(xiàn)P的“點回歸”;
(2)連續(xù)轉(zhuǎn)動的次數(shù)k=
n
時,第一次出現(xiàn)△PQR的“三角形回歸”;
(3)第一次同時出現(xiàn)P的“點回歸”與△PQR的“三角形回歸”時,寫出連續(xù)轉(zhuǎn)動的次數(shù)k與正多邊形的邊數(shù)n之間的關(guān)系.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•普陀區(qū)一模)把兩塊邊長為4的等邊三角板ABC和DEF先如圖1放置,使三角板DEF的頂點D與三角板ABC的AC邊的中點重合,DF經(jīng)過點B,射線DE與射線AB相交于點M,接著把三角形板ABC固定不動,將三角形板DEF由圖11-1所示的位置繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α.其中0°<α<90°,射線DF與線段BC相交于點N(如圖2示).
(1)當(dāng)0°<α<60°時,求AM•CN的值;
(2)當(dāng)0°<α<60°時,設(shè)AM=x,兩塊三角形板重疊部分的面積為y,求y與x的函數(shù)解析式并求定義域;
(3)當(dāng)BM=2時,求兩塊三角形板重疊部分的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:第1章《反比例函數(shù)》中考題集(25):1.3 實際生活中的反比例函數(shù)(解析版) 題型:解答題

如圖所示,邊長為2的等邊三角形OAB的頂點A在x軸的正半軸上,B點位于第一象限,將△OAB繞O點順時針旋轉(zhuǎn)30°后,恰好A點在雙曲線y=(x>0)上.
(1)求雙曲線y=(x>0)的解析式;
(2)等邊三角形OAB繼續(xù)按順時針方向旋轉(zhuǎn)多少度后,A點再次落在雙曲線上?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:江蘇期末題 題型:解答題

閱讀:我們把邊長為1的等邊三角形PQR沿著邊長為整數(shù)的正n(n>3)邊形的邊按照如圖1的方式連續(xù)轉(zhuǎn)動,當(dāng)頂點P回到正n邊形的內(nèi)部時,我們把這種狀態(tài)稱為它的“點回歸”;當(dāng)△PQR回到原來的位置時,我們把這種狀態(tài)稱為它的“三角形回歸”。
例如:如圖2,邊長為1的等邊三角形PQR的頂點P在邊長為1的正方形ABCD內(nèi),頂點Q與點A重合,頂點R與點B重合,△PQR沿著正方形ABCD的邊BC、CD、DA、AB……連續(xù)轉(zhuǎn)動,當(dāng)△PQR連續(xù)轉(zhuǎn)動3次時,頂點P回到正方形ABCD內(nèi)部,第一次出現(xiàn)P的“點回歸”;當(dāng)△PQR連續(xù)轉(zhuǎn)動4次時△PQR回到原來的位置,出現(xiàn)第一次△PQR的“三角形回歸”。
操作:如圖3,如果我們把邊長為1的等邊三角形PQR沿著邊長為1的正五邊形ABCDE的邊連續(xù)轉(zhuǎn)動,則連續(xù)轉(zhuǎn)動的次數(shù)k=(    )時,第一次出現(xiàn)P的“點回歸”;連續(xù)轉(zhuǎn)動的次數(shù)k=(    )時,第一次出現(xiàn)△PQR的“三角形回歸”。
猜想:我們把邊長為1的等邊三角形PQR沿著邊長為1的正n(n>3)邊形的邊連續(xù)轉(zhuǎn)動,
(1)連續(xù)轉(zhuǎn)動的次數(shù)k=(    )時,第一次出現(xiàn)P的“點回歸”;
(2)連續(xù)轉(zhuǎn)動的次數(shù)k=(    )時,第一次出現(xiàn)△PQR的“三角形回歸”;
(3)第一次同時出現(xiàn)P的“點回歸”與△PQR的“三角形回歸”時,寫出連續(xù)轉(zhuǎn)動的次數(shù)k與正多邊形的邊數(shù)n之間的關(guān)系。

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