Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)函數(shù)y=x，y=-

1

2

x+6的圖象交于點(diǎn)A．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，作PQ∥x軸交直線BC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊向下作正方形PQMN，設(shè)它與△OAB重疊部分的面積為S．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）試求出點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的關(guān)系式．
（3）在（2）的條件下，S是否有最大值若有，求出t為何值時(shí)，S有最大值，并求出最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由．
（4）若點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)A后繼續(xù)按原方向、原速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)正方形PQMN與△OAB重疊部分面積最大時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t滿足的條件是

 

．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閮蓚�(gè)函數(shù)y=x，y=-

1

2

x+6的圖象交于點(diǎn)A，所以將兩個(gè)函數(shù)的解析式聯(lián)立，得到方程組，解之即可；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)P在直線OA即y=x上以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，所以O(shè)P=t，而OA是第一、三象限坐標(biāo)軸夾角的平分線，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(

2

2

t，

2

2

t)，又因PQ∥x軸交直線BC于點(diǎn)Q，所以可得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為

2

2

t，并且點(diǎn)Q在y=-

1

2

x+6上，因此可得到關(guān)于x、t的關(guān)系式，經(jīng)過變形可用t表示x，即得到點(diǎn)Q坐標(biāo)為(12-

2

t，

2

2

t)，PQ=12-

3 2

2

t，當(dāng)重疊部分是正方形時(shí)，分情況代入面積公式中求解；
（3）結(jié)合（2）中的關(guān)系式可知有最大值，并且最大值應(yīng)在0＜t≤3

2

中，利用二次函數(shù)最值的求法就可得到S的最大值為12；
（4）若點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)A后繼續(xù)按原方向、原速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)正方形PQMN與△OAB重疊部分面積正好最大時(shí)，此時(shí)重合部分就是△AOB，B的坐標(biāo)為（12，0），并且有PB⊥OB，PB=OB=12，所以O(shè)P=12

2

，即t≥12

2

．

解答：解：（1）由

y=x y=- 1 2 x+6

可得

x=4 y=4

，
∴A（4，4）；

（2）點(diǎn)P在y=x上，OP=t，
則點(diǎn)P坐標(biāo)為(

2

2

t，

2

2

t)，
點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為

2

2

t，并且點(diǎn)Q在y=-

1

2

x+6上，
∴

2

2

t=-

1

2

x+6，x=12-

2

t，
即點(diǎn)Q坐標(biāo)為(12-

2

t，

2

2

t)，PQ=12-

3 2

2

t，
當(dāng)12-

3 2

2

t=

2

2

t時(shí)，t=3

2

，
當(dāng)0＜t≤3

2

時(shí)，S=

2

2

t(12-

3 2

2

t)=-

3

2

t2+6

2

t，
當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，t=4

2

，
當(dāng)3

2

＜t＜4

2

時(shí)，S=(12-

3 2

2

t)2，
=

9

2

t2-36

2

t+144；

（3）有最大值，最大值應(yīng)在0＜t≤3

2

中，
S=-

3

2

t2+6

2

t=-

3

2

(t2-4

2

t+8)+12=-

3

2

(t-2

2

)2+12，
當(dāng)t=2

2

時(shí)，S的最大值為12；

（4）當(dāng)正方形PQMN與△OAB重疊部分面積正好最大時(shí)，此時(shí)重合部分就是△AOB，
∵B的坐標(biāo)為（12，0），PB⊥OB，
∴PB=OB=12，
∴OP=12

2

，
∴t≥12

2

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．