Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)C（1，0），正方形AOCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為B，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)G，使DG=BD，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE=BC，以BG，BE為鄰邊作正方形BEFG．

（Ⅰ）如圖①，求OD的長(zhǎng)及的值；

（Ⅱ）如圖②，正方形AOCD固定，將正方形BEFG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形BE′F′G′，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°），連接AG′．

①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠BAG′=90°時(shí)，求α的大��；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF′的長(zhǎng)取最大值時(shí)，點(diǎn)F′的坐標(biāo)及此時(shí)α的大小（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①α=30°或150°時(shí)，∠BAG′=90°②當(dāng)α=315°時(shí)，A、B、F′在一條直線上時(shí)，AF′的長(zhǎng)最大，最大值為+2，此時(shí)α=315°，F(xiàn)′（+，﹣）

【解析】

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可解決問題,(2)①因?yàn)椤?/span>BAG′=90°,

BG′=2AB,可知sin∠AG′B=,推出∠AG′B=30°,推出旋轉(zhuǎn)角α=30°,據(jù)對(duì)稱性可知,當(dāng)∠ABG″=60°時(shí),∠BAG″=90°,也滿足條件,此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α=150°,②當(dāng)α=315°時(shí),A、B、F′在一條直線上時(shí),AF′的長(zhǎng)最大.

（Ⅰ）如圖1中，

∵A（0，1），

∴OA=1，

∵四邊形OADC是正方形，

∴∠OAD=90°，AD=OA=1，

∴OD=AC==，

∴AB=BC=BD=BO=，

∵BD=DG，

∴BG=，

∴==．

（Ⅱ）①如圖2中，

∵∠BAG′=90°，BG′=2AB，

∴sin∠AG′B==，

∴∠AG′B=30°，

∴∠ABG′=60°，

∴∠DBG′=30°，

∴旋轉(zhuǎn)角α=30°，

根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)∠ABG″=60°時(shí)，∠BAG″=90°，也滿足條件，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α=150°，

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角α=30°或150°時(shí)，∠BAG′=90°．

②如圖3中，連接OF，

∵四邊形BE′F′G′是正方形的邊長(zhǎng)為

∴BF′=2，

∴當(dāng)α=315°時(shí)，A、B、F′在一條直線上時(shí)，AF′的長(zhǎng)最大，最大值為+2，

此時(shí)α=315°，F(xiàn)′（+，﹣）