Question

如圖，試證“如果AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于T，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，那么(1)CO＝DO；(2)AB＝AC＋BD”；(3)若CD向上平移與⊙O相交，或向下平移與⊙O相離，上述命題中的結論還成立嗎？試證明你的猜想．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)連結OT． 　　∵CD是⊙O的切線，∴OT⊥CD． 　　∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC∥OT∥BD． 　　∵AO＝BO，∴OT是梯形ACDB的中位線， 　　∴CO＝DO． 　　(2)∵AC＋BD＝2OT，且2OT＝AB， 　　∴AB＝AC＋BD． 　　(3)當CD向上平移與⊙O相交時，CO＝DO，但AB＞AC＋BD，如圖． 　　證明如下：作OT⊥CD于T，則AC∥OT∥BD． 　　∵AO＝BO，∴CT＝DT． 　　O在CD的垂直平分線上，∴CO＝DO． 　　但在梯形ACDB中，AC＋BD＝2OT，而OT小于半徑，∴AB＞AC＋BD． 　　當CD向下平移與⊙O相離時，CO＝DO，但AB＜AC＋BD，如圖． 　　證明如下：作OT⊥CD于T，則AC∥OT∥BD． 　　∵AO＝BO，∴CT＝DT． 　　∵O在CD的垂直平分線上，∴CO＝DO． 　　但在梯形ACDB中，AC＋BD＝2TO，而TO大于半徑，∴AB＜AC＋BD． 　　分析：在圖中，若連結OT，根據切線的性質可知OT⊥CD，再由AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，則AC∥OT∥BD，又由AO＝BO，則CT＝DT．從而OT是線段CD的垂直平分線，則OC＝OD．又由OT是直角梯形ACDB的中位線可知OT＝(AC＋BD)，而AB＝2OT，∴AB＝AC＋BD． 　　根據上面的分析，當CD向上平移時，OT仍是CD的垂直平分線，因此OC＝OD仍成立，并且OT＝(AC＋BD)仍成立，但此時OT小于半徑，AB≠2OT，因此AB≠AC＋BD．當CD向下平移時，也可以做同樣的討論．