Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2x與x軸相交于點(diǎn)B，其對(duì)稱(chēng)軸為x=3．

（1）求直線AB的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)O作直線l，使l∥AB，點(diǎn)P是l上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)以點(diǎn)A、B、O、P為頂點(diǎn)的四邊形面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)0＜S≤18時(shí)，求t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)t取最大值時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△OPQ為直角三角形且OP為直角邊，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+6；（2）﹣3≤t＜0或0＜t≤3；（3）存在．點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，3）或（6，0）或（﹣3，﹣9）．

【解析】

（1）利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性得到點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+2x中求出a得到拋物線解析式；接著把一般式配成頂點(diǎn)式得到A點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式；
（2）易得直線解析式為y=-x，則可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-t），討論：當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)（t＞0），利用三角形面積公式可得到S=S△AOB+S△POB=9+3t，再利用S的范圍可得到t的范圍；當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)（t＜0），作PM⊥x軸于M，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)為N．如圖，利用S=S梯形PANM+S△ANB-S△PMO得到S=[3+（-t）]（3-t）+33-（-t）（-t），然后利用S的范圍確定對(duì)應(yīng)t的范圍；
（3）依題意得到t=3，則P（3，-3），討論：當(dāng)直角頂點(diǎn)為點(diǎn)O時(shí)，OP⊥OQ，易得直線OQ的解析式為y=x，則解方程組

得此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；當(dāng)直角頂點(diǎn)為點(diǎn)P時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線的垂線交拋物線于點(diǎn)Q，則可設(shè)直線PQ的解析式為y=x+b，接著把P（3，-3）代入求出b得到直線PQ的解析式為y=x-6，然后解方程組得此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）∵點(diǎn)B與O（0，0）關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），

把B（6，0）代入y=ax2+2x得36a+12=0，解得a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x；

∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣3）2+3，

∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，3），

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b．

把A（3，3），B（6，0）代入得 ，解得 ，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+6；

（2）∵直線∥AB且過(guò)點(diǎn)O，

∴直線解析式為y=﹣x，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，﹣t），

當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)（t＞0），

S=S△AOB+S△POB=63+6|﹣t|=9+3t，

∵0＜S≤18，

∴0＜9+3t≤18，解得﹣3＜t≤3．

又t＞0，

∴0＜t≤3；

當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)（t＜0），

作PM⊥x軸于M，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)為N．如圖，

S=S梯形PANM+S△ANB﹣S△PMO [3+（﹣t）]（3﹣t）+33﹣（﹣t）（﹣t）

=﹣3t+9，

∵0＜S≤18，

∴0＜﹣3+9≤18，解得﹣3≤t＜3．

又t＜0，

∴﹣3≤t＜0；

綜上所述，t的取值范圍是﹣3≤t＜0或0＜t≤3；

（3）存在．

依題意可知，t=3，則P（3，﹣3）

當(dāng)直角頂點(diǎn)為點(diǎn)O時(shí)，OP⊥OQ，

∴直線OQ的解析式為y=x，

解方程組得 或 ，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，3）；

當(dāng)直角頂點(diǎn)為點(diǎn)P時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線的垂線交拋物線于點(diǎn)Q，

設(shè)直線PQ的解析式為y=x+b，

把P（3，﹣3）代入得b=﹣6，

∴直線PQ的解析式為y=x﹣6，

解方程組得 或 ，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）或（﹣3，﹣9），

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，3）或（6，0）或（﹣3，﹣9）．