Question

已知拋物線y＝ x²－2x＋c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)．

(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)圖1，連結(jié)AC，BD，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，求∠E的度數(shù)；

(3)圖2，已知點(diǎn)P(－4，0)，點(diǎn)Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點(diǎn)M，當(dāng)∠PMA＝∠E時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)把x＝－1，y＝0代入得 　　1＋2＋c＝0，∴c＝－3　1分 　　∴ 　　∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，－4)　3分 　　(2)圖1，連結(jié)CD、CB，過(guò)D作DF⊥y軸于F點(diǎn)， 　　由得x1＝－1，x2＝3，∴B(3，0)． 　　當(dāng)x＝0時(shí)， ． 　　∴C(0，－3)，∴OB＝OC＝3， 　　∵∠BOC＝90°，∴∠OCB＝45°，BC＝　4分 　　又∵DF＝CF＝1，∠CFD＝90°，∴∠FCD＝45°，CD＝， 　　∴∠BCD＝180°－∠OCB－∠FCD ＝90°． 　　∴∠BCD ＝∠COA　5分 　　 　　∴，∴△DCB∽△AOC ，∴∠CBD＝∠OCA　6分 　　又∠ACB＝∠CBD＋∠E＝∠OCA＋∠OCB，∴∠E＝∠OCB＝45°．　7分 　　(3)圖2，設(shè)直線PQ交y軸于N點(diǎn)，交BD于H點(diǎn)，作DG⊥x軸于G點(diǎn)． 　　∵∠PMA＝45°，∴∠EMH＝45°，∴∠MHE＝90°，　8分 　　∴∠PHB＝90°，∴∠DBG＋∠OPN＝90°． 　　又∠ONP＋∠OPN＝90°，∴∠DBG＝∠ONP， 　　又∠DGB＝∠PON＝90°，∴△DGB∽△PON， 　　∴， 　　∴ON＝2，∴N(0，－2)．　10分 　　設(shè)直線PQ的解析式為y＝kx＋b， 　　則由解得k＝－，b＝－2， 　　∴． 　　設(shè)Q(m，n)且n＜0，∴． 　　又Q(m，n)在上，∴， 　　∴，解得， 　　∴， 　　∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，－3)或(－，－)．　12分 　　說(shuō)明：若有其他解法，請(qǐng)參照評(píng)分說(shuō)明酌情給分．