Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD中，G是AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且D為AG中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿看A→C→G的路線向G點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)（M不與A，G重合），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒，連接BM并延長(zhǎng)交AG于N點(diǎn)．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△ABM為等腰三角形？

（2）當(dāng)點(diǎn)N在AD邊上時(shí)，若DN⊥HN，NH交∠CDG的平分線于H，求證：BN＝HN；

（3）過(guò)點(diǎn)M分別作AB，AD的垂線，垂足分別為E，F，矩形AEMF與△ACG重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）存在；（2）詳見(jiàn)解析；（3）當(dāng)t＝時(shí)，S的最大值為．

【解析】

（1）四種情況：當(dāng)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)時(shí)，AM=BM；當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，AB=BM；當(dāng)點(diǎn)M在AC上，且AM= 時(shí)，AM=AB；當(dāng)點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)時(shí)，AM=BM；△ABM為等腰三角形；
（2）在AB上截取AK=AN，連接KN；由正方形的性質(zhì)得出∠ADC=90°，AB=AD，∠CDG=90°，得出BK=DN，先證出∠BKN=∠NDH，再證出∠ABN=∠DNH，由ASA證明△BNK≌△NHD，得出BN=NH即可；
（3）①當(dāng)M在AC上時(shí)，即0＜t≤2時(shí)，△AMF為等腰直角三角形，得出AF=FM= t，求出S= AFFM= t2；當(dāng)t=2時(shí)，即可求出S的最大值；
②當(dāng)M在CG上時(shí)，即2＜t＜4時(shí)，先證明△ACD≌△GCD，得出∠ACD=∠GCD=45°，求出∠ACM=90°，證出△MFG為等腰直角三角形，得出FG=MGcos45°= t，得出S=S△ACG-S△CMJ-S△FMG，S為t的二次函數(shù)，即可求出結(jié)果．

（1）解：存在；當(dāng)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)時(shí)，AM＝BM，則△ABM為等腰三角形；

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，AB＝BM，則△ABM為等腰三角形；

當(dāng)點(diǎn)M在AC上，且AM＝ 時(shí)，AM＝AB，則△ABM為等腰三角形；

當(dāng)點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)時(shí)，AM＝BM，則△ABM為等腰三角形；

（2）證明：在AB上截取AK＝AN，連接KN；如圖1所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝90°，AB＝AD，

∴∠CDG＝90°，

∵BK＝AB﹣AK，ND＝AD﹣AN，

∴BK＝DN，

∵DH平分∠CDG，

∴∠CDH＝45°，

∴∠NDH＝90°+45°＝135°，

∴∠BKN＝180°﹣∠AKN＝135°，

∴∠BKN＝∠NDH，

在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB＝90°，

又∵BN⊥NH，

即∠BNH＝90°，

∴∠ANB+∠DNH＝180°﹣∠BNH＝90°，

∴∠ABN＝∠DNH，

在△BNK和△NHD中，，

∴△BNK≌△NHD（ASA），

∴BN＝NH；

（3）解：①當(dāng)M在AC上時(shí)，即0＜t≤2時(shí)，△AMF為等腰直角三角形，

∵AM＝t，

∴AF＝FM＝ t，

∴S＝ AFFM＝；

當(dāng)t＝2時(shí)，S的最大值＝ ×22＝1；

②當(dāng)M在CG上時(shí)，即2＜t＜4時(shí)，如圖2所示：

CM＝t﹣AC＝t﹣2，MG＝4﹣t，

在△ACD和△GCD中，，

∴△ACD≌△GCD（SAS），

∴∠ACD＝∠GCD＝45°，

∴∠ACM＝∠ACD+∠GCD＝90°，

∴∠G＝90°﹣∠GCD＝45°，

∴△MFG為等腰直角三角形，

∴FG＝MGcos45°＝（4﹣t） ＝2 ﹣t，

∴S＝S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG＝ ×2×﹣×CM×CM﹣×FM×FG，

＝2﹣（t﹣2）2﹣（2﹣t）2＝﹣ t2+4t﹣4＝﹣（t﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)t＝時(shí)，S的最大值為．