Question

【題目】如圖．在中，，，，是的中位線(xiàn)，連結(jié)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)交于，交于．

(1)當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值及的長(zhǎng)

(2) 當(dāng)四邊形與四邊形的面積相等時(shí)，求的長(zhǎng)：

(3)如圖2．以為直徑作．

①當(dāng)正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求證：是的切線(xiàn)：

②當(dāng)的值滿(mǎn)足什么條件時(shí)，與線(xiàn)段有且只有一個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）①見(jiàn)解析；②當(dāng)或時(shí)，與線(xiàn)段有且只有一個(gè)交點(diǎn)．

【解析】

（1）根據(jù)題意得H為的重心，即可得的值，由重心和中位線(xiàn)的性質(zhì)求得，由勾股定理求得的長(zhǎng)，即可得的長(zhǎng)；

（2）根據(jù)圖中面積的關(guān)系得S四邊形DCFG=，列出關(guān)系式求解即可得的長(zhǎng)；

（3）根據(jù)與線(xiàn)段有且只有一個(gè)交點(diǎn)，可分兩類(lèi)情況討論：當(dāng)與相切時(shí)，求得的值；當(dāng)過(guò)點(diǎn)E，此時(shí)是與線(xiàn)段有兩個(gè)交點(diǎn)的臨界點(diǎn)，即可得出與線(xiàn)段有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足的條件．

解：（1）∵是的中位線(xiàn)，

∴分別是的中點(diǎn)，，

又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴與的交點(diǎn)是的重心，

，即；，

∴，

在中，D為AC中點(diǎn)，，則，

∴DG為的中位線(xiàn)，G為AF的中點(diǎn)，

，

，

在中，，，，

，

則，

，

；

（2）∵四邊形與四邊形的面積相等，

∴S四邊形DCFH+=S四邊形BEGH+，

即S梯形DCFG=，

∵，，是的中位線(xiàn)，

∴，，

∵，

設(shè)，∵DG為的中位線(xiàn)，

∴，

則S梯形DCFG，

解得：，

；

（3）①證明：如圖2，連結(jié)，

為的直徑，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

，

∴，為直角三角形，

為的中點(diǎn)，

，

．

又，

，

∴，即，

∴，即是的切線(xiàn)；

②如圖3-1，當(dāng)與相切時(shí)，與線(xiàn)段有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

設(shè)的半徑為r，圓心O到DE的距離為d，

∴當(dāng)r=d時(shí)，與相切，

∵，，，

∴兩平行線(xiàn)之間的距離為，

∴，

則，，

由得：，

；

如圖3-2，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，連接、，

設(shè)的半徑為，即，

∵G為AF的中點(diǎn)，O為CF的中點(diǎn)，

∴，

∴四邊形COGD為平行四邊形，

又∵，

∴四邊形COGD為矩形，

∴，則，為直角三角形，

∴，，

則，

由勾股定理得：，即，

解得：，則，

，

由得：，

，

則當(dāng)時(shí)，與線(xiàn)段有且只有一個(gè)交點(diǎn)；

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，與線(xiàn)段有且只有一個(gè)交點(diǎn)．