Question

已知拋物線y=2x²-4x-1
（1）求當(dāng)x為何值時y取最小值，且最小值是多少？
（2）這個拋物線交x軸于點(diǎn)（x₁，0），（x₂，0），求值：

x2

x1

+

x1

x2

（3）將二次函數(shù)的圖象先向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度后，所得二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A，請你直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)解析式利用配方法，由一般式變?yōu)轫旤c(diǎn)式，根據(jù)a大于0，拋物線開口向上，頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，y有最小值，當(dāng)x等于頂點(diǎn)橫坐標(biāo)時，y的最小值為頂點(diǎn)縱坐標(biāo)；
（2）令y=0，得到一個一元二次方程，由拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可得方程的兩個根為x₁，x₂，由a，b及c的值，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩個根之和與兩個根之積，把所求的式子通分后，分子再利用完全平方公式化簡，把求出的兩根之和與兩根之積代入即可求出值；
（3）根據(jù)平移規(guī)律“上加下減，左加右減”，由已知拋物線的解析式，可得出平移后拋物線的解析式．

解答：解：（1）y=2x²-4x-1=2（x²-2x+1）-2-1=2（x-1）²-3，
當(dāng)x為1時，y最小值為-3．

（2）令y=0，得2x²-4x-1=0，
由題意得：方程的兩個根為x₁，x₂，
∵a=2，b=-4，c=-1，
∴x₁+x₂=-

b

a

=2，x₁x₂=

c

a

=-

1

2

，
則

x2

x1

+

x1

x2

=

x12+x22

x1x2

=

(x1+x2) 2-2x1x2

x1x2

=-10；

（3）二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度，
得到解析式為y=2（x-1-2）²-3，即y=2（x-3）²-3，
再向下平移1個單位長度，得y=2（x-3）²-3-1，即y=2（x-3）²-4，
則平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-4）．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，以及二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，其中利用配方法把解析式由一般式變?yōu)轫旤c(diǎn)式是解本題的突破點(diǎn)．