Question

【題目】如圖，已知Rt△AOB中,∠AOB=90,AO=5,BO=3,點E、M是線段AB上的兩個不同的動點(不與端點重合),分別過E、M作AO的垂線,垂足分別為K、L.

①△OEK面積S的最大值為 ；

②若以O(shè)E、OM為邊構(gòu)造平行四邊形EOMF，當EM⊥OF時，OK+OL= .

Answer 1

【答案】①，②.

【解析】

試題分析：本題綜合考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程、二次函數(shù)的知識，綜合性很強，屬于較難題，需要學(xué)生有綜合運用知識的能力．

①根據(jù)條件證明△OBA∽△KEA，得到比例式，用含OK的式子表示KE，根據(jù)三角形的面積公式，列出關(guān)于OK的關(guān)系式即可；

②根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出答案．

①∵EK⊥OA，∠AOB=90°，

∴△OBA∽△KEA．

∴=，

∴＝，

∴KE=，

∴S=×OKKE=，

設(shè)OK=x，則S==-，

∴當x=時，S有最大值，最大值為；

②解：當EM⊥OF時，平行四邊形EOMF為菱形，OE的取值范圍為＜OE＜3，

設(shè)OK=a，OL=b，

由（1）得，KE=，ML=，

由OE=OM得a2+[]2=b2+[]2．

設(shè)y=x2+[]2=x2-x+9，

則當x1=a，x2=b時，函數(shù)y的值相等．

函數(shù)y的對稱軸為直線x=，

即=，

解得a+b=，即OK+OL=．

故答案為，．