已知:拋物線C1:y=x2。如圖(1),平移拋物線C1得到拋物線C2,C2經(jīng)過C1的頂點O和A(2,0),C2的對稱軸分別交C1、C2于點B、D。
(1)求拋物線C2的解析式;
(2)探究四邊形ODAB的形狀并證明你的結(jié)論;
(3)如圖(2),將拋物線C2向下平移m個單位(m>0)得拋物線C3,C3的頂點為G,與y軸交于M。點N是M關(guān)于x軸的對稱點,點P()在直線MG上。問:當(dāng)m為何值時,在拋物線C3上存在點Q,使得以M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形?
解:(1)∵拋物線C2經(jīng)過點O(0,0),∴設(shè)拋物線C2的解析式為。
∵拋物線C2經(jīng)過點A(2,0),∴,解得
。
∴拋物線C2的解析式為。
(2)∵,∴拋物線C2的頂點D的坐標(biāo)為(1,
)。
當(dāng)x=1時, ,∴點B的坐標(biāo)為(1,1)。
∴根據(jù)勾股定理,得OB=AB=OD=AD=。∴四邊形ODAB是菱形。
又∵OA=BD=2,∴四邊形ODAB是正方形。
(3)∵拋物線C3由拋物線C2向下平移m個單位(m>0)得到,
∴拋物線C3的解析式為。
在中令x=0,得
,∴M
。
∵點N是M關(guān)于x軸的對稱點,∴N�!郙N=
。
當(dāng)M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形時有兩種情況:
①若MN是平行四邊形的一條邊,由MN=PQ=和P(
)得Q(
)。
∵點Q 在拋物線C3上,∴,解得
或
(舍去)。
②若MN是平行四邊形的一條對角線,由平行四邊形的中心對稱性,得Q()。
∵點Q 在拋物線C3上,∴,解得
或
(舍去)。
綜上所述,當(dāng)或
時,在拋物線C3上存在點Q,使得以M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形。
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)平移的性質(zhì),應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得拋物線C2的解析式。
(2)求出各點坐標(biāo),應(yīng)用勾股定理求出各邊長和對角線長,根據(jù)正方形的判定定理可得結(jié)論。
(3)分MN為平行四邊形的邊和對角線兩種情況討論即可。
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