Question

如圖，直線y=x+b（b＞0）與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點，正比例函數y=kx（k＜0）的圖象與直線AB交于點Q，過A、B兩點分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=10，BN=3，求MN的長．

Answer 1

分析：圖中直線y=x+b與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點，可以根據兩點的坐標得出OA=OB，由此可證明△MAO≌△NOB，求出OM=BN；AM=ON；OM=BN，然后即可求出MN的值；

解答：解：直線y=x+b（b＞0）與x軸的交點坐標A為（-b，0），
與y軸的交點坐標B為（0，b），
∴OA=OB，
又∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∵∠MOA+∠MAO=90°，∠MOA+∠MOB=90°，
∴∠MAO=∠MOB，
在△MAO和△BON中

∠MAO=∠MOB ∠AMO=∠BNO OA=OB

，
∴△MAO≌△NOB，
∴OM=BN，AM=ON，∵AM=10，BN=3，
∴MN=ON-OM=AM-BN=7．

點評：本題主要考查的是全等三角形的判定以及一次函數的相關知識，難度中等，本題的關鍵是證明△MAO≌△NOB．