Question

【題目】已知，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖①所示，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣6，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝ax2+bx+8．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，將△BDE以DE為軸翻折，點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，求G點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+8的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)F，使得以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）G點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，4+）或（﹣1，4﹣）；（3）存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，4）、（﹣1，﹣4）或（﹣1，12）．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+8經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣6，0），B（4，0），應(yīng)用待定系數(shù)法，求出拋物線的解析式即可．

（2）首先作DM⊥拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，n），根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得BD＝DG；然后分別求出點(diǎn)D、點(diǎn)M的坐標(biāo)各是多少，以及BC、BD的值各是多少；最后在Rt△GDM中，根據(jù)勾股定理，求出n的值，即可求出G點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）根據(jù)題意，分三種情況：①當(dāng)CD∥EF，且點(diǎn)E在x軸的正半軸時(shí)；②當(dāng)CD∥EF，且點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸時(shí)；③當(dāng)CE∥DF時(shí)；然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)各是多少即可．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+8經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣6，0），B（4，0），

∴

解得

∴拋物線的解析式是：

（2）如圖①，作DM⊥拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，，

設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，n），

由翻折的性質(zhì)，可得BD＝DG，

∵B（4，0），C（0，8），點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，4），

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣1，4），DM＝2﹣（﹣1）＝3，

∵B（4，0），C（0，8），

∴BC＝ ＝4 ，

∴BD=2，

在Rt△GDM中，

32+（4﹣n）2＝20，

解得n＝4±，

∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，4+）或（﹣1，4﹣）．

（3）拋物線y＝ax2+bx+8的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)F，使得以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

①當(dāng)CD∥EF，且點(diǎn)E在x軸的正半軸時(shí)，如圖②，

由（2），可得點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，4），

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（c，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，d），

則

解得

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，4），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，0）．

②當(dāng)CD∥EF，且點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸時(shí)，如圖③，

由（2），可得點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，4），

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（c，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，d），

則

解得

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，﹣4），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（﹣3，0）．

③當(dāng)CE∥DF時(shí)，如圖④，，

由（2），可得點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，4），

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（c，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，d），

則

解得

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，12），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（3，0）．

綜上，可得

拋物線y＝ax2+bx+8的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)F，使得以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，4）、（﹣1，﹣4）或（﹣1，12）．