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科目:初中數學 來源:三點一測叢書八年級數學上 題型:044
孫海洋是個愛動腦筋的八年級學生,他特別喜歡數學,一有空就看數學課外書,并琢磨書上的問題.有一次,他從一本書中看到了下面一個有趣的問題:
仔細觀察下面4個等式:
32=2+22+3
42=3+32+4
52=4+42+5
62=5+52+6
……
請寫出第5個等式,由此能發(fā)現什么規(guī)律?用公式將發(fā)現的規(guī)律表示出來.
對這個問題,孫海洋感到很新奇,他認真分析題目給出的4個等式,發(fā)現有以下一些結構特征:
(1)每個等式的左邊都是一個自然數的平方,等式的右邊都是3個數的和.
(2)4個等式的左邊依次是32、42、52、62,它們的底數3、4、5、6是4個連續(xù)的自然數,其大小均比所處等式的序號多2.
(3)每個等式右邊的3個加數也有明顯的規(guī)律.
第1個加數和第3個加數是兩個連續(xù)的自然數,并且第3個加數等于該等式左邊平方數的底數,第2個加數也是一個平方數,底數等于第1個加數.
根據以上規(guī)律,孫海洋猜想第5個等式應該是72=6+62+7.
孫海洋進一步歸納了這5個等式的規(guī)律,用公式表示為(n+1)2=n+n2+(n+1)…①其中n=2,3,…
如果將①式右邊變形、左邊不變,那么可得(n+1)2=n2+2n+1…②
等式②多么眼熟啊!它不就是完全平方公式的一個具體應用嗎?由此可見,孫海洋同學歸納的規(guī)律是正確的.
想一想,當n=0,1時,等式①是否成立?當n為負整數時,等式①是否成立?
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科目:初中數學 來源:新課標教材導學 數學八年級第二學期 題型:059
請同學們判斷下列各式是否成立:
(1)=2;(2)=3;(3)=4;(4)=3.
經過計算可知,(1)、(2)、(3)式是成立的;(4)式是不成立的.這說明在二次根式的化簡運算中要特別注意,根號里面的數是不能輕易地放到根號外面來的.
細心的同學可能會想,什么情況下根號里面的數能放到根號外面來呢?(1)、(2)、(3)式的成立僅僅是巧合嗎?其中會有什么規(guī)律吧?我們來分析一下前三個式子的運算過程:
(1)===2;
(2)===3;
(3)===4.
通過把帶分數化成假分數的分數運算和分子開方運算驗證了這些式子是成立的.
我們再來觀察前三個等式左邊根號內分數的特點.在三個帶分數2、3、4中:
(1)整數部分與分數部分的分子相等:
2=2,3=3,4=4;
(2)整數部分與分數部分的分母有下列關系:
3=22-1,8=32-1,15=42-1.
根據上面的分析和觀察,我們不妨觀察5+=5,式子=5是不是也成立?
===5
確實是成立的!
大膽地猜想一下,對于一般的形式a+(a為大于1的整數),式子
=a
還會成立嗎?我們來驗證一下:
==
==a
(a為大于1的整數).
太妙啦!我們的猜想是正確的.
那么,下列各式成立嗎?
(1)=2;(2)=3;(3)=4;(4)=3.
能不能由此得出下面的結論呢?
=a
同學們可能還會不滿足,還會有更大膽的猜想!那就試試看吧.不要忘記,猜想成為真理,是要經過嚴格證明的.
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科目:初中數學 來源: 題型:解答題
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科目:初中數學 來源:不詳 題型:填空題
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