我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn):反比例函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形.你可以利用這一結(jié)論解決問(wèn)題.如圖,在同一直角坐標(biāo)系中,正比例函數(shù)的圖象可以看作是:將x軸所在的直線(xiàn)繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度角后的圖形.若它與反比例函數(shù)的圖象分別交于第一、三象限的點(diǎn)B,D,已知點(diǎn)A(-m,O)、C(m,0).
(1)直接判斷并填寫(xiě):不論α取何值,四邊形ABCD的形狀一定是______;
(2)①當(dāng)點(diǎn)B為(p,1)時(shí),四邊形ABCD是矩形,試求p,α,和m的值;
②觀(guān)察猜想:對(duì)①中的m值,能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有幾個(gè)?(不必說(shuō)理)
(3)試探究:四邊形ABCD能不能是菱形?若能,直接寫(xiě)出B點(diǎn)的坐標(biāo),若不能,說(shuō)明理由.
【答案】分析:(1)由于反比例函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形,點(diǎn)B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn),所以點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng),則OB=OD,又OA=OC,根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形,可得出四邊形ABCD的形狀;
(2)①把點(diǎn)B(p,1)代入,即可求出p的值;過(guò)B作BE⊥x軸于E,在Rt△BOE中,根據(jù)正切函數(shù)的定義求出tanα的值,得出α的度數(shù);要求m的值,首先解Rt△BOE,得出OB的長(zhǎng)度,然后根據(jù)進(jìn)行的對(duì)角線(xiàn)相等得出OA=OB=OC=OD,從而求出m的值;②當(dāng)m=2時(shí),設(shè)B(x,),則x>0,由OB=2,得出x2+=4,解此方程,得x=±1或±,滿(mǎn)足條件的x的值有兩個(gè),故能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有兩個(gè);
(3)假設(shè)四邊形ABCD為菱形,根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)垂直且互相平分,可知AC⊥BD,且AC與BD互相平分,又AC在x軸上,所以BD應(yīng)在y軸上,這與“點(diǎn)B、D分別在第一、三象限”矛盾,所以四邊形ABCD不可能為菱形.
解答:解:(1)平行四邊形(3分)

(2)①∵點(diǎn)B(p,1)在的圖象上,

.(4分)
過(guò)B作BE⊥x軸于E,則
在Rt△BOE中,
α=30°,(5分)
∴OB=2.
又∵點(diǎn)B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn),
∴點(diǎn)B、D關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng),(6分)
∴OB=OD=2.
∵四邊形ABCD為矩形,且A(-m,0),C(m,0)
∴OA=OB=OC=OD=2(7分)
∴m=2;(8分)
②能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有2個(gè);(9分)

(3)四邊形ABCD不能是菱形.理由如下:(10分)
若四邊形ABCD為菱形,則對(duì)角線(xiàn)AC⊥BD,且AC與BD互相平分,
因?yàn)辄c(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-m,0)、(m,0),
所以點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng),且AC在x軸上,(11分)
所以BD應(yīng)在y軸上,
這與“點(diǎn)B、D分別在第一、三象限”矛盾,
所以四邊形ABCD不可能為菱形.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了平行四邊形的判定,矩形、菱形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義等知識(shí),綜合性較強(qiáng),難度適中.
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3
x
的圖象分別交于第一、三象限的點(diǎn)B,D,已知點(diǎn)A(-m,O)、C(m,0).
(1)直接判斷并填寫(xiě):不論α取何值,四邊形ABCD的形狀一定是
 
;
(2)①當(dāng)點(diǎn)B為(p,1)時(shí),四邊形ABCD是矩形,試求p,α,和m的值;
②觀(guān)察猜想:對(duì)①中的m值,能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有幾個(gè)?(不必說(shuō)理)
(3)試探究:四邊形ABCD能不能是菱形?若能,直接寫(xiě)出B點(diǎn)的坐標(biāo),若不能,說(shuō)明理由.

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1x
的圖象分別交于第一、三象限的點(diǎn)B、D,已知點(diǎn)A(-m,0)、C(m,0).
(1)直接判斷并填寫(xiě):不論α取何值,四邊形ABCD的形狀一定是
平行四邊形
平行四邊形
;
(2)當(dāng)點(diǎn)B為(p,1)時(shí),四邊形ABCD是矩形,直接寫(xiě)出p、α、和m的值;
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(1)直接判斷并填寫(xiě):不論α取何值,四邊形ABCD的形狀一定是_______;
(2)①當(dāng)點(diǎn)B為(p,1)時(shí),四邊形ABCD是矩形,試求p,α,和m的值;
②觀(guān)察猜想:對(duì)①中的m值,能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有幾個(gè)?(不必說(shuō)理)
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