Question

如圖，在直角梯形ABCD中,AD∥CB, ,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),沿射線DA的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),在線段CB上以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)D,C同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）.

（1）設(shè)△BPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）當(dāng)t為何值時(shí),四邊形ABQP是平行四邊形.

（3）當(dāng)t為何值時(shí),以B,P,Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?

Answer 1

（1）S=96-6t（0≤t＜16）．（2）5;（3）t=或t=

【解析】

試題分析：（1）若過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M，則四邊形PDCM為矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s=PM×QB=96-6t；

（2）當(dāng)四邊形ABQP為平行四邊形時(shí)，AP=BQ，即21-2t=16-t，可將t求出；

（3）本題應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，將各數(shù)據(jù)代入，

將時(shí)間t求出；

②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，將數(shù)據(jù)代入，可將時(shí)間t求出；

③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，將數(shù)據(jù)代入，可將時(shí)間t求出．

試題解析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M，則四邊形PDCM為矩形．

∴PM=DC=12，

∵QB=16-t，

∴s=QBPM=（16-t）×12=96-6t（0≤t＜16）．

（2）當(dāng)四邊形ABQP是平行四邊形時(shí)，AP=BQ，

即21-2t=16-t，

解得：t=5，

∴當(dāng)t=5時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形．

（3）由圖可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：

①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得t=；

②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，即3t2-32t+144=0，

此時(shí)，△=（-32）2-4×3×144=-704＜0，

所以此方程無(wú)解，

∴BP≠BQ．

③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得t1=，t2=16（不合題意，舍去）．

綜上所述，當(dāng)t=或t=時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

考點(diǎn)：1.直角梯形；2.等腰三角形的判定；3.勾股定理；4.平行四邊形的判定．