Question

如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P是BC上任意一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，BG⊥CD于G，可得結(jié)論：PE+PF=BG；當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上（如圖2）時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，PE、PF、BG之間又有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：首先過(guò)點(diǎn)B作BH∥CD，交PF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，易證得四邊形BGFH是平行四邊形，即可得BG=FH，又可證得△PBE≌△PBH，即可得PH=PE，繼而證得PE=PF+BG．
解答：解：不成立，關(guān)系為：PE=PF+BG．
過(guò)點(diǎn)B作BH∥CD，交PF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
∵PF⊥CD，BG⊥CD，∠PBH=∠DCB，
∴BG∥FH，PH⊥BH，
∴四邊形BGFH是平行四邊形，∠H=90°，
∴FH=BG，
∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠ABC=∠PBH，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB=∠H=90°，
在△PBE和△PBH中，
，
∴△PBE≌△PBH（AAS），
∴PH=PE，
∴PE=PF+FH=PF+BG．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．