如圖，在△ABC中，∠BAC=90°， BC∥x軸，拋物線y=ax2－2ax＋3經(jīng)過△ABC的三個頂點，并且與x軸交于點D、E，點A為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）連接CD，在拋物線的對稱軸上是否存在一點P使△PCD為直角三角形，若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（1）y=-x2+2x+3；（2）P1(1，4)  P2(1，-2) .

解析試題分析：（1）根據(jù)題意知點B的坐標為（0，3）拋物線的對稱軸方程為x=1，所以A點坐標為（1，4），C點坐標為（2，3），由此可求拋物線的解析式.
(2)分兩種情況：CD為直角邊，CD為斜邊進行討論，由勾股定理得到方程即可求出P點坐標.
試題解析：（1）∵y=ax2－2ax＋3
∴它的對稱軸為直線x=
令x=0，則y=3,
∴B（0，3）
根據(jù)拋物線的對稱性知：C（2，3），A（1，4）
把A（1，4）代入y=ax2－2ax＋3，得：a=-1
∴拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3；
（2）存在.分兩種情況：
（1）當CD為直角邊時，設P（1，a）：
i)當點P在x軸上方時，DP=，CP=，，
∵CD2+CA2=AD2
∴18+2=4+a2
即：a2=16
解得a=±4（負舍去）
∴a=4
ii)當點P在x軸下方時，CD2+DP2=CP2
∴
解得：a=-2
(2)當CD為斜邊時，同理可以得出：a=
綜上所述，點P的坐標分別為：P1(1，4)  P2(1，-2) 
考點：二次函數(shù)綜合題.

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，拋物線y=ax2+x+c與x軸交于點A（4，0）、B（-1，0），與y軸交于點C，連接AC，點M是線段OA上的一個動點（不與點O、A重合），過點M作MN∥AC，交OC于點N，將△OMN沿直線MN折疊，點O的對應點O′落在第一象限內(nèi)，設OM=t，△O′MN與梯形AMNC重合部分面積為S．
（1）求拋物線的解析式；
（2）①當點O′落在AC上時，請直接寫出此時t的值；
②求S與t的函數(shù)關系式；
（3）在點M運動的過程中，請直接寫出以O、B、C、O′為頂點的四邊形分別是等腰梯形和平行四邊形時所對應的t值．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，已知點P（0，4），點A在線段OP上，點B在x軸正半軸上，且AP=OB=t， 0＜t＜4，以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD；過點C、D依次向x軸、y軸作垂線，垂足為M，N，設過O，C兩點的拋物線為y=ax2+bx+c．
（1）填空：△AOB≌△       ≌△BMC（不需證明）；用含t的代數(shù)式表示A點縱坐標：A（0，       ；
（2）求點C的坐標，并用含a，t的代數(shù)式表示b；
（3）當t=1時，連接OD，若此時拋物線與線段OD只有唯一的公共點O，求a的取值范圍；
（4）當拋物線開口向上，對稱軸是直線，頂點隨著t的增大向上移動時，求t的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

拋物線與軸交于點A，B，與y軸交于點C，其中點B的坐標為.
（1）求拋物線對應的函數(shù)表達式；]
（2）將（1）中的拋物線沿對稱軸向上平移，使其頂點M落在線段BC上，記該拋物線為G，求拋物線G所對應的函數(shù)表達式；
（3）將線段BC平移得到線段（B的對應點為，C的對應點為），使其經(jīng)過（2）中所得拋物線G的頂點M，且與拋物線G另有一個交點N，求點到直線的距離的取值范圍.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線y=x2+bx+c過點（-6,-2），與y軸交于點C，且對稱軸與x軸交于點B（-2,0），頂點為A.
（1）求該拋物線的解析式和A點坐標；
（2）若點D是該拋物線上的一個動點，且使△DBC是以B為直角頂點BC為腰的等腰直角三角形，求點D坐標；
（3）若點M是第二象限內(nèi)該拋物線上的一個動點，經(jīng)過點M的直線MN與y軸交于點N，是否存在以O、M、N為頂點的三角形與△OMB全等？若存在，請求出直線MN的解析式；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知拋物線 (b，c為常數(shù))的頂點為P，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為(0，–1)，C的坐標為(4，3)，直角頂點B在第四象限．
(1)如圖，若該拋物線過A，B兩點，求b，c的值；
(2)平移(1)中的拋物線，使頂點P在直線AC上滑動，且與直線AC交于另一點Q．
①點M在直線AC下方，且為平移前(1)中的拋物線上的點，當以M，P，Q三點為頂點的三角形是以PQ為腰的等腰直角三角形時，求點M的坐標；
②取BC的中點N，連接NP，BQ．當取最大值時，點Q的坐標為________.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸從左至右依次交于A,B兩點，與軸交于點C，經(jīng)過點B的直線與拋物線的另一交點為D.
（1）若點D的橫坐標為-5，求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若在第一象限的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形與△ABC相似，求的值；
（3）在（1）的條件下，設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止. 當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，點P為AB邊上一動點，DP交AC于點Q.
（1）求證：△APQ∽△CDQ；
（2）P點從A點出發(fā)沿AB邊以每秒1個單位的速度向B點移動，移動時間為t秒.
①當t為何值時，DP⊥AC？
②設，寫出y與t之間的函數(shù)解析式，并探究P點運動到第幾秒到第幾秒之間時，y取得最小值.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的邊AB在x軸上，∠ABC=90°，AB=BC，OA=1，OB=4，拋物線經(jīng)過A、C兩點．
（1）求拋物線的解析式及其頂點坐標；
（2）如圖①，點P是拋物線上位于x軸下方的一點，點Q與點P關于拋物線的對稱軸對稱，過點P、Q分別向x軸作垂線，垂足為點D、E，記矩形DPQE的周長為d，求d的最大值，并求出使d最大值時點P的坐標；
（3）如圖②，點M是拋物線上位于直線AC下方的一點，過點M作MF⊥AC于點F，連接MC，作MN∥BC交直線AC于點N，若MN將△MFC的面積分成2：3兩部分，請確定M點的坐標．

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