Question

（2013•荊門）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，P是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與M、C重合），以AB為直徑作⊙O，過點(diǎn)P作⊙O的切線，交AD于點(diǎn)F，切點(diǎn)為E．
（1）求證：OF∥BE；
（2）設(shè)BP=x，AF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）延長DC、FP交于點(diǎn)G，連接OE并延長交直線DC與H（圖2），問是否存在點(diǎn)P，使△EFO∽△EHG（E、F、O與E、H、G為對應(yīng)點(diǎn)）？如果存在，試求（2）中x和y的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先證明Rt△FAO≌Rt△FEO進(jìn)而得出∠AOF=∠ABE，即可得出答案；
（2）過F作FQ⊥BC于Q，利用勾股定理求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)M是BC中點(diǎn)以及BC=2，即可得出BP的取值范圍；
（3）首先得出當(dāng)∠EFO=∠EHG=2∠EOF時(shí)，即∠EOF=30°時(shí)，Rt△EFO∽Rt△EHG，求出y=AF=OA•tan30°=

3

3

，即可得出答案．

解答：（1）證明：連接OE
FE、FA是⊙O的兩條切線
∴∠FAO=∠FEO=90°
在Rt△OAF和Rt△OEF中，

FO=FO OA=OE

∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL），
∴∠AOF=∠EOF=

1

2

∠AOE，
∴∠AOF=∠ABE，
∴OF∥BE，
                                            
（2）解：過F作FQ⊥BC于Q
∴PQ=BP-BQ=x-y
PF=EF+EP=FA+BP=x+y
∵在Rt△PFQ中
∴FQ²+QP²=PF²
∴2²+（x-y）²=（x+y）²
化簡得：y=

1

x

，（1＜x＜2）；

（3）存在這樣的P點(diǎn)，
理由：∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，
當(dāng)∠EFO=∠EHG=2∠EOF時(shí)，
即∠EOF=30°時(shí)，Rt△EFO∽Rt△EHG，
此時(shí)Rt△AFO中，
y=AF=OA•tan30°=

3

3

，
∴x=

1

y

=

3

∴當(dāng)x=

3

，y=

3

3

時(shí)，△EFO∽△EHG．

點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出FQ²+QP²=PF²是解題關(guān)鍵．