Question

已知 A（-4，0）B （0，4）以A點(diǎn)為位似中心將OB向右側(cè)放大，得到點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)C，且

AB

AC

=

4

9

．
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)落在x軸的正半軸上，求拋物線的解析式．
（3）點(diǎn)P在（2）中的拋物線上，且到直線AB的距離為3

2

，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），然后根據(jù)位似比列式求出a、b的值，即可得解；
（2）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)設(shè)出拋物線的解析式，再根據(jù)頂點(diǎn)落在x軸的正半軸上可知，拋物線與x軸只有一個交點(diǎn)，所以△=b²-4ac=0，且x=-

b

2a

＞0，從而求出拋物線的解析式；
（3）過點(diǎn)O作BC的垂線交BC于點(diǎn)N，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可知△AOB是等腰直角三角形，然后求出ON的長度，設(shè)點(diǎn)P所在的直線ME交y軸于點(diǎn)E，交BC的垂線于點(diǎn)M，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OE的長度，然后求出直線ME的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，同理當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的下方時，求出直線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得解．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），
∵A（-4，0）、B（0，4），

AB

AC

=

4

9

，
∴

4

x+4

=

4

y

=

AB

AC

=

4

9

，
解得x=5，y=9，
∴點(diǎn)C（5，9）；

（2）∵B（0，4），
∴設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+4，
∵C（5，9），
∴25a+5b+4=9，
∴b=1-5a，
∴拋物線解析式為y=ax²+（1-5a）x+4，
∵△=b²-4ac=（1-5a）²-16a=0，
∴25a²-26a+1=0，
解得a₁=1，a₂=

1

25

，
∵x=-

b

2a

=-

1-5a

2a

＞0，
解得a＜0或a＞

1

5

，
∴a=1，
∴y=x²-4x+4；

（3）如圖，過點(diǎn)O作BC的垂線交BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P所在的直線ME交y軸于點(diǎn)E，交BC的垂線于點(diǎn)M，
則MN=3

2

，
∵A（-4，0）、B（0，4），
∴AO=4，OB=4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴ON=AO•sin45°=4×

2

2

=2

2

，
∴OM=ON+MN=2

2

+3

2

=5

2

，
∴

OB

OE

=

ON

OM

=

2 2

5 2

=

2

5

，
∴OE=

5

2

OB=

5

2

×4=10，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，10），
∴直線ME的解析式為y=x+10
由

y=x+10 y=x2-4x+4

，
解得

x1=-1 y1=9

，

x2=6 y2=16

，
同理：點(diǎn)F為（0，-2），
由

y=x-2 y=x2-4x+4

，
解得

x1=2 y1=0

，

x2=3 y2=1

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，9）或（6，16）或（2，0）或（3，1）．

點(diǎn)評：本題綜合考查了二次函數(shù)的問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，點(diǎn)到直線的距離，位似變換的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，函數(shù)圖象的交點(diǎn)的求解方法，綜合性較強(qiáng)，難度較大，根據(jù)頂點(diǎn)在x軸的正半軸上求出拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．