Question

如圖，已知拋物線y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²的頂點(diǎn)A在雙曲線y=上，直線y=mx+b經(jīng)過點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C．
（1）確定直線AB的解析式；
（2）將直線AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，與x軸交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E，求sin∠BDE的值；
（3）過點(diǎn)B作x軸的平行線與雙曲線交于點(diǎn)G，點(diǎn)M在直線BG上，且到拋物線的對(duì)稱軸的距離為6．設(shè)點(diǎn)N在直線BG上，請(qǐng)直接寫出使得∠AMB+∠ANB=45°的點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線解析式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-m²+5m-3），代入雙曲線y=中，可求m的值，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線y=mx+b中，確定直線AB的解析式；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，OD=OB，OE=OC，根據(jù)B、D、E三點(diǎn)坐標(biāo)，作EH⊥BD，垂足為H，可知△BEH為等腰直角三角形，分別求EH，DE，再求sin∠BDE的值；
（3）即△AMN的頂點(diǎn)A的外角為45°，過M點(diǎn)作直線AN的垂線，得到等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求N點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵拋物線對(duì)稱軸x=-=1，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-m²+5m-3），
代入雙曲線y=中，得，-m²+5m-3=3，
解得m=2或3，
∵二次項(xiàng)系數(shù)3-m≠0，
∴m=2，
∴A（1，3），把A點(diǎn)代入直線y=2x+b中，得b=1，
∴直線AB的解析式為y=2x+1；

（2）由直線AB解析式可知OB=1，OC=，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，OD=OB=1，OE=OC=，
作EH⊥BD，垂足為H，∵∠OBD=45°，
∴△BEH為等腰直角三角形，
又∵BE=OB-OE=，
∴EH==，
在Rt△ODE中，DE===，
∴sin∠BDE===；

（3）N點(diǎn)坐標(biāo)為（5，1）或（-3，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)條件確定拋物線和直線AB的解析式，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)解題．