Question

如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC=12，tan∠ACO=，
（1）求B、C兩點的坐標；
（2）把矩形沿直線DE對折使點C落在點A處，DE與AC相交于點F，求直線DE的解析式；
（3）若點M在直線DE上，平面內(nèi)是否存在點N，使以O(shè)、F、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函數(shù)求得OA以及OC的長度，則C、B的坐標即可得到；
（2）直線DE是AC的中垂線，利用待定系數(shù)法以及互相垂直的兩直線的關(guān)系即可求得DE的解析式；
（3）分當FM是菱形的邊和當OF是對角線兩種情況進行討論．利用三角函數(shù)即可求得N的坐標．
解答：解：（1）在直角△OAC中，tan∠ACO==，
∴設(shè)OA=x，則OC=3x，
根據(jù)勾股定理得：（3x）²+（x）²=AC²，
即9x²+3x²=144，
解得：x=2．
故C的坐標是：（6，0），B的坐標是（6，6）；

（2）直線AC的斜率是：-=-，
則直線DE的斜率是：．
F是AC的中點，則F的坐標是（3，3），設(shè)直線DE的解析式是y=x+b，
則9+b=3，解得：b=-6，
則直線DE的解析式是：y=x-6；

（3）OF=AC=6，
∵直線DE的斜率是：．
∴DE與x軸夾角是60°，
當FM是菱形的邊時（如圖1），ON∥FM，
則∠NOC=60°或120°．
當∠NOC=60°時，過N作NG⊥y軸，則NG=ON•sin30°=6×=3，
OG=ON•cos30°=6×=3，則N的坐標是（3，3）；
當∠NOC=120°時，與當∠NOC=60°時關(guān)于原點對稱，則坐標是（-3，-3）；
當OF是對角線時（如圖2），MN關(guān)于OF對稱．
∵F的坐標是（3，3），
∴∠FOD=∠NOF=30°，
在直角△ONH中，OH=OF=3，ON===2．
作NL⊥y軸于點L．
在直角△ONL中，∠NOL=30°，
則NL=ON=，
OL=ON•cos30°=2×=3．
故N的坐標是（，3）．
當DE與y軸的交點時M，這個時候N在第四象限，
此時點的坐標為：（3，-3）．
則N的坐標是：（3，-3）或（3，3）或（-3，-3）或（，3）．
點評：本題考查了一次函數(shù)和幾何問題的綜合應(yīng)用，本題中對于N的位置的討論是關(guān)鍵．