【答案】
分析:(1)分別求得直線AB與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求得A點(diǎn)與B點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)將△APQ沿PQ翻折,使點(diǎn)A恰好落在AB邊的點(diǎn)C處時(shí),∠AQP=90°,然后利用相似三角形求得線段AQ和線段PQ的長(zhǎng)即可求得三角形APQ的面積;
(3)①若PD∥BQ,則梯形PQBD是等腰梯形.過(guò)D、P分分別作DM⊥AB于M,PN⊥AB于N.構(gòu)造矩形PNMD.則有BM=QN,由PD∥BQ,得
=
,從而求得MB的值;在直角三角形APN中根據(jù)AP求得QN的值,然后由BM=QN,求得t,所以點(diǎn)E的坐標(biāo)就迎刃而解了;
②若PQ∥BD,則等腰梯形PQBD中BQ=EP且PQ⊥OA于P點(diǎn).由OP+AP=OA求得t值;
(4)①當(dāng)P由O向A運(yùn)動(dòng)時(shí),OQ=OP=AQ=t.再有邊角關(guān)系求得BQ=AQ=
AD,解得t值;②②當(dāng)P由A向O運(yùn)動(dòng)時(shí),OQ=OP=8-t.在Rt△OGQ中,利用勾股定理得OQ
2=QG
2+OG
2,列出關(guān)于t的方程,解方程即可.
解答:解:(1)令y=-
x+3=0,解得x=4,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0);
令x=0,得y=-
×0+3=3,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為:(0,3);
(2)由題意知,此時(shí)△APQ≌△DPQ,∠AQP=90°,
此時(shí)△AQP∽△AOB,AQ=t,AP=4-t
∴
即:
解得:AQ=t=
,QP=
,
∴S
△APQ=
AQ•PQ=
×
×
=
;
(3)存在,有以下兩種情況
①若PE∥BQ,則等腰梯形PQBE中PQ=BE
過(guò)E、P分分別作EM⊥AB于M,PN⊥AB于N.
則有BM=QN,由PE∥BQ,
得
,
∴BM=
(3-
t);
又∵AP=4-t,
∴AN=
(4-t),
∴QN=
(4-t)-t,
由BM=QN,得
(3-
t)=
(4-t)-t
∴t=
,
∴E(0,
);
②若PQ∥BE,則等腰梯形PQBE中
BQ=EP且PQ⊥OA于P點(diǎn)
由題意知AP=
AQ=
t
∵OP+AP=OA,
∴t+
t=4
∴t=
,
∴OE=
,
∴點(diǎn)E(0,-
)
由①②得E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,
)或(0,-
).
(4)連接OQ,并過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥y軸y于G.
①當(dāng)P由O向A運(yùn)動(dòng)時(shí),OQ=OP=AQ=t.
可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO
∴OQ=BQ=t
∴BQ=AQ=
AB
∴t=
當(dāng)點(diǎn)Q由點(diǎn)B向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng),即5<t<8時(shí),△OPQ始終是等腰直角三角形,那么線段PQ的垂直平分線EF必定都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,所以5<t<8時(shí)也符合條件.
綜上①、②、③所述,所有符合條件的t的值是t=
5≤t<8;
②連接OQ,并過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥y軸y于G.
當(dāng)P由A向O運(yùn)動(dòng)時(shí),OQ=OP=8-t
BQ=5-t,QG=
(5-t),OG=3-
(5-t)
在Rt△OGQ中,OQ
2=QG
2+OG
2即(8-t)
2=[
(5-t)]2+[3-
(5-t)]
2∴t=5
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用,相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用,弄清相關(guān)線段的大小和比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵.