Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B的直線交x軸于點(diǎn)C，且△ABC面積為10．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線BC的解析式；

（2）如圖1，設(shè)點(diǎn)F為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)G為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接FG，以FG為邊向FG右側(cè)作長(zhǎng)形FGQP，且FG：GQ＝1：2，在G點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)頂點(diǎn)Q落在直線BC上時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）如圖2，若M為線段BC上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足S△AMB＝S△AOB，點(diǎn)E為直線AM上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)D，E，B，C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（3，0），y＝﹣x+4；（2）（，）；（3）存在，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）．

【解析】

（1）直線y＝2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣2，0）、（0，4），△ABC面積＝×AC×OB＝AC×4＝10，解得：AC＝5，故點(diǎn)C（3，0），

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）證明△GNQ∽△FMG，則，即，故點(diǎn)Q（2m﹣4，m﹣2），即可求解；

（3）分BC是平行四邊形的邊、BC是平行四邊形的對(duì)角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）直線y＝2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣2，0）、（0，4），

△ABC面積＝×AC×OB＝AC×4＝10，解得：AC＝5，故點(diǎn)C（3，0），

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+4…①；

（2）設(shè)點(diǎn)E（m，m+），點(diǎn)D（n，0），點(diǎn)F為線段AB中點(diǎn)，則點(diǎn)F（﹣1，2），

過(guò)點(diǎn)G作x軸的平行線MN，過(guò)點(diǎn)F、Q分別作y軸的平行線分別交MN于點(diǎn)M、N，

∵∠MGF+∠GFM＝90°，∠MGF+∠NGQ＝90°，∴∠NGQ＝∠GFM，

∠GNQ＝∠FMG＝90°，

∴△GNQ∽△FMG，

∴，即，

故：GN＝2m﹣4，QN＝2，故點(diǎn)Q（2m﹣4，m﹣2），

將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入y＝﹣x+4并解得：m＝，

故點(diǎn)Q（，）；

（3）S△AMB＝S△AOB，則OM∥AB，

則直線OM的表達(dá)式為：y＝2x…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝，故點(diǎn)M（，），

同理直線AM的表達(dá)式為：y＝x+，

設(shè)點(diǎn)E（m，m+），點(diǎn)D（n，0），

①當(dāng)BC是平行四邊形的邊時(shí)，

點(diǎn)B向右平移3個(gè)單位向下平移4個(gè)單位得到C，

同樣點(diǎn)E（D）向右平移3個(gè)單位向下平移4個(gè)單位得到D（E），

則m+3＝n，m+﹣4＝0或m﹣3＝n，m++4＝0，

解得：n＝或n＝﹣；

②當(dāng)BC是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

由中點(diǎn)公式得：m+n＝3，m++4＝0，

解得：n＝﹣，

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）．