如圖1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=2,CD=1,BC=m,P為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn),且和B、C不重合,連接PA,過(guò)P作PE⊥PA交CD所在直線于E.設(shè)BP=x,CE=y.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)E總在線段CD上,求m的取值范圍;
(3)如圖2,若m=4,將△PEC沿PE翻折至△PEG位置,∠BAG=90°,求BP長(zhǎng).

【答案】分析:(1)證明△ABP∽△PCE,利用比例線段關(guān)系求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)(1)中求出的y與x的關(guān)系式,利用二次函數(shù)性質(zhì),求出其最大值,列不等式確定m的取值范圍;
(3)根據(jù)翻折的性質(zhì)及已知條件,構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求出BP的長(zhǎng)度.解答中提供了三種解法,可認(rèn)真體會(huì).
解答:解:(1)∵∠APB+∠CPE=90°,∠CEP+∠CPE=90°,
∴∠APB=∠CEP,又∵∠B=∠C=90°,
∴△ABP∽△PCE,
,即
∴y=x2+x.

(2)∵y=x2+x=(x-2+,
∴當(dāng)x=時(shí),y取得最大值,最大值為
∵點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)E總在線段CD上,
≤1,解得m≤
∴m的取值范圍為:0<m≤

(3)由折疊可知,PG=PC,EG=EC,∠GPE=∠CPE,
又∵∠GPE+∠APG=90°,∠CPE+∠APB=90°,
∴∠APG=∠APB.
∵∠BAG=90°,∴AG∥BC,
∴∠GAP=∠APB,
∴∠GAP=∠APG,
∴AG=PG=PC.

解法一:如解答圖所示,分別延長(zhǎng)CE、AG,交于點(diǎn)H,
則易知ABCH為矩形,HE=CH-CE=2-y,GH=AH-AG=4-(4-x)=x,
在Rt△GHE中,由勾股定理得:GH2+HE2=GE2,
即:x2+(2-y)2=y2,化簡(jiǎn)得:x2-4y+4=0  ①
由(1)可知,y=x2+x,這里m=4,∴y=x2+2x,
代入①式整理得:3x2-8x+4=0,解得:x=或x=2,
∴BP的長(zhǎng)為或2.
解法二:如解答圖所示,連接GC.
∵AG∥PC,AG=PC,
∴四邊形APCG為平行四邊形,∴AP=CG.
易證△ABP≌GNC,∴CN=BP=x.
過(guò)點(diǎn)G作GN⊥PC于點(diǎn)N,則GN=2,PN=PC-CN=4-2x.
在Rt△GPN中,由勾股定理得:PN2+GN2=PG2,
即:(4-2x)2+22=(4-x)2,
整理得:x2-8x+4=0,解得:x=或x=2,
∴BP的長(zhǎng)為或2.
解法三:過(guò)點(diǎn)A作AK⊥PG于點(diǎn)K,
∵∠APB=∠APG,
∴AK=AB.
易證△APB≌△APK,
∴PK=BP=x,
∴GK=PG-PK=4-2x.
在Rt△AGK中,由勾股定理得:GK2+AK2=AG2,
即:(4-2x)2+22=(4-x)2,
整理得:3x2-8x+4=0,
解得:x=或x=2,
∴BP的長(zhǎng)為或2.
點(diǎn)評(píng):本題是代數(shù)幾何綜合題,考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折疊、函數(shù)關(guān)系式、二次函數(shù)最值等知識(shí)點(diǎn),所涉及考點(diǎn)眾多,有一定的難度.注意第(2)問(wèn)中求m取值范圍時(shí)二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,以及第(3)問(wèn)中構(gòu)造直角三角形的方法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

24、如圖1,在梯形ABCD中AD∥BC,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)P,則s△PAB=S△PDC,請(qǐng)你用梯形對(duì)角線的這一特殊性質(zhì),解決下面問(wèn)題.
在圖2中,點(diǎn)E是△ABC中AB邊上的任意一點(diǎn),且AE≠BE,過(guò)點(diǎn)E畫(huà)一條直線,把△ABC分成面積相等的兩部分,保留作圖痕跡,并簡(jiǎn)要說(shuō)明你的方法.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=4
2
,另有一等腰梯形DEFG(GF∥DE)的底邊DE與BC重合,兩腰分別落在AB,AC上,且G,F(xiàn)分別是AB,AC的中點(diǎn).
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(1)求等腰梯形DEFG的面積;
(2)操作:固定△ABC,將等腰梯形DEFG以每秒1個(gè)單位的速度沿BC方向向右運(yùn)動(dòng),直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒,運(yùn)動(dòng)后的等腰梯形為DEF′G′(如圖2).
探究1:在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,四邊形BDG′G能否是菱形?若能,請(qǐng)求出此時(shí)x的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;
探究2:設(shè)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△ABC與等腰梯形DEFG重疊部分的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

24、如圖,已知:AD是△ABC中BC邊的中線,則S△ABD=S△ACD,依據(jù)是
等底等高的三角形面積相等

規(guī)定;若一條直線l把一個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)圖形,則稱這樣的直線l叫做這個(gè)圖形的等積直線.根據(jù)此定義,在圖1中易知直線為△ABC的等積直線.
(1)如圖2,在矩形ABCD中,直線l經(jīng)過(guò)AD,BC邊的中點(diǎn)M、N,請(qǐng)你判斷直線l是否為該矩形的等積直線
(填“是”或“否”).在圖2中再畫(huà)出一條該矩形的等積直線.(不必寫(xiě)作法)
(2)如圖3,在梯形ABCD中,直線l經(jīng)過(guò)上下底AD、BC邊的中點(diǎn)M、N,請(qǐng)你判斷直線l是否為該梯形的等積直線
(填“是”或“否”).
(3)在圖3中,過(guò)M、N的中點(diǎn)O任作一條直線PQ分別交AD,BC于點(diǎn)P、Q,如圖4所示,猜想PQ是否為該梯形的等積直線?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•黑河)如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)M、N分別在AD、CD上,若∠MBN=45°,易證MN=AM+CN
(1)如圖2,在梯形ABCD中,BC∥AD,AB=BC=CD,點(diǎn)M、N分別在AD、CD上,若∠MBN=
1
2
∠ABC,試探究線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出猜想,并給予證明.
(2)如圖3,在四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長(zhǎng)線上,若∠MBN=
1
2
∠ABC,試探究線段MN、AM、CN又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出猜想,不需證明.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

(2013•樂(lè)山)閱讀下列材料:
如圖1,在梯形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)M,N分別在邊AB,DC上,且MN∥AD,記AD=a,BC=b.若
AM
MB
=
m
n
,則有結(jié)論:MN=
bm+an
m+n

請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論,解答下列問(wèn)題:
如圖2,圖3,BE,CF是△ABC的兩條角平分線,過(guò)EF上一點(diǎn)P分別作△ABC三邊的垂線段PP1,PP2,PP3,交BC于點(diǎn)P1,交AB于點(diǎn)P2,交AC于點(diǎn)P3
(1)若點(diǎn)P為線段EF的中點(diǎn).求證:PP1=PP2+PP3;
(2)若點(diǎn)P為線段EF上的任意位置時(shí),試探究PP1,PP2,PP3的數(shù)量關(guān)系,并給出證明.

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