Question

【題目】(1)觀察猜想

如圖(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,點D是BC的中點．以點D為頂點作正方形DEFG，使點A，C分別在DG和DE上，連接AE，BG，則線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是_____；

(2)拓展探究

將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于0°，小于或等于360°），如圖2，則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由.

(3)解決問題

若BC=DE=2，在(2)的旋轉(zhuǎn)過程中，當AE為最大值時，直接寫出AF的值．

　

Answer 1

【答案】（1）BG＝AE．

（2）成立．

如圖②，

連接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，點D是BC的中點．

∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．

∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．

∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分

（3）由（2）知，BG＝AE，故當BG最大時，AE也最大．

正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)270°時，BG最大，如圖③．

若BC＝DE＝2，則AD＝1，EF＝2．

在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．

∴AF＝

【解析】

解：（1）BG＝AE．

（2）成立．

如圖②，連接AD．

∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，點D是BC的中點．

∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．

∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．

∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．

（3）由（2）知，BG＝AE，故當BG最大時，AE也最大．Z+X+X+K]

因為正方形DEFG在繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，G點運動的圖形是以點D為圓心，DG為半徑的圓，故當正方形DEFG旋轉(zhuǎn)到G點位于BC的延長線上（即正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)270°）時，BG最大，如圖③．

若BC＝DE＝2，則AD＝1，EF＝2．

在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．

∴AF＝．

即在正方形DEFG旋轉(zhuǎn)過程中，當AE為最大值時，AF＝．