Question

已知直徑AB、CD互相垂直，點M是

AC

上一動點，連AM、MC、MD．
（1）如圖1，求證：MD-MC=

2

MA；
（2）如圖2，求證：

(MD2-MC2)

MA?MB

為定值．

Answer 1

分析：（1）如圖1，連接AC、AD．根據(jù)圖示知四邊形AMCD是圓內(nèi)接四邊形，則由托勒密定理可以求得MC•AD+AM•CD=AC•MD．根據(jù)垂徑定理、勾股定理易求AC=AD=

2

2

CD，將其代入可以求得結(jié)論MD-MC=

2

MA；
（2）如圖2，連接BC、BD．則四邊形MCBD是圓內(nèi)接四邊形，則由托密勒定理得到MD•BC+MC•BD=MB•CD根據(jù)垂徑定理、勾股定理易求BC=BD=

2

2

CD，則MD+MC=

2

MB，結(jié)合（1）得到MD²-MC²=（MD+MC）（MD-MC）=

2

AM•

2

MB=2AM•MB．

解答：證明：（1）如圖1，連接AC、AD．
∵直徑AB、CD互相垂直，
∴AC=AD，∠CAD=90°，
∴AC=AD=

2

2

CD．
由托勒密定理得到MC•AD+MA•CD=AC•MD，即MC•

2

2

CD+MA•CD=

2

2

CD•MD，
∴MC+

2

2

MA=MD
∴MD-MC=

2

MA．

（2）如圖2，連接BC、BD．
∵直徑AB、CD互相垂直，
∴AC=AD，∠CAD=90°，
∴BC=BD=

2

2

CD．
由托勒密定理得到MD•BC+MC•BD=MB•CD，即MD+MC=

2

MB，
∴MD²-MC²=（MD+MC）（MD-MC）
=

2

AM•

2

MB
=2AM•MB，
∴

(MD2-MC2)

MA?MB

=2，即

(MD2-MC2)

MA?MB

為定值．

點評：本題考查了圓的綜合題．其中涉及到了垂徑定理，勾股定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．難度較大．