用一副三角板拼成如圖①所示的四邊形ABCD,其中∠ADC=∠ACB=90°,∠B=60°,AD=DC=數(shù)學(xué)公式cm.若把△ADC的頂點(diǎn)C沿CB所在射線滑動(dòng),頂點(diǎn)A始終不離開AC,如圖②所示,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到與C點(diǎn)重合時(shí),即停止運(yùn)動(dòng),如圖③所示.

(1)如圖②所示,C′D與AC交于點(diǎn)M,求證:△CC′M∽△A′DM;
(2)運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)(如圖③)的頂點(diǎn)A沿AC下滑了多少?
(3)△ADC在滑動(dòng)過程中,△CC′M與△A′DM能否全等?如果能,求此時(shí)AA′的長(zhǎng);如果不能,請(qǐng)說明理由;
(4)△ADC在滑動(dòng)過程中,A′C′與AB能否平行?如果能,求此時(shí)AA′的長(zhǎng);如果不能,請(qǐng)說明理由.

解:(1)如圖②,∵∠C=∠D=90°,∠CMC′=∠DMA′,
∴△CC′M∽△A′DM.

(2)如圖①,在Rt△ACD中,∠D=90°,AD=DC=cm,∴AC=8cm;
如圖③,AA′=AC-A′D=(8-)cm.

(3)不可能全等.
理由如下:根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系可知,如果全等必為△CC′M≌△A′DM,
即C′M=A′M,則∠C′A′M=∠A′C′M=45°;
∵∠MA′C′<45°,∴不可能全等.

(4)A′C′與AB能平行.
∵AC′∥AB,
∴∠A′C′M=∠B=60°,則A′C=cm;
∴AA′=AC-A′C=(8-)cm.
分析:(1)所求的兩個(gè)三角形中,已知對(duì)頂角∠C′MC=∠A′MD,一組直角∠C=∠D=90°,即可證得所求的結(jié)論.
(2)在Rt△ADC中,易求得斜邊AC的長(zhǎng),那么AC、AD的差即為A點(diǎn)下滑的距離.
(3)若兩個(gè)三角形全等,那么C′M=A′M,此時(shí)∠MC′A′=∠MA′C′,即∠MA′C′=45°,顯然∠MA′C′<45°,因此兩個(gè)三角形不可能全等.
(4)當(dāng)∠MC′C=∠DA′M=15°時(shí),∠A′C′D=60°,∠C′A′C=30°,此時(shí)A′C′∥AB;在Rt△A′C′C中,根據(jù)∠A′C′C的度數(shù)及A′C′(即AC)的長(zhǎng),可求得A′C的值,進(jìn)而可由AA′=AC-A′C得解.
點(diǎn)評(píng):此題考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)以及平行線的判定等知識(shí),難度適中.
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(1)如圖②所示,C′D與AC交于點(diǎn)M,求證:△CC′M∽△A′DM;
(2)運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)(如圖③)的頂點(diǎn)A沿AC下滑了多少?
(3)△ADC在滑動(dòng)過程中,△CC′M與△A′DM能否全等?如果能,求此時(shí)AA′的長(zhǎng);如果不能,請(qǐng)說明理由;
(4)△ADC在滑動(dòng)過程中,A′C′與AB能否平行?如果能,求此時(shí)AA′的長(zhǎng);如果不能,請(qǐng)說明理由.

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(1)如圖②所示,C′D與AC交于點(diǎn)M,求證:△CC′M∽△A′DM;
(2)運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)(如圖③)的頂點(diǎn)A沿AC下滑了多少?
(3)△ADC在滑動(dòng)過程中,△CC′M與△A′DM能否全等?如果能,求此時(shí)AA′的長(zhǎng);如果不能,請(qǐng)說明理由;
(4)△ADC在滑動(dòng)過程中,A′C′與AB能否平行?如果能,求此時(shí)AA′的長(zhǎng);如果不能,請(qǐng)說明理由.

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