Question

如圖1，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=AB=6cm，BC=8cm，點E從點A出發(fā)沿AD方向以1cm/s的速度向終點D運動；點F從點C出發(fā)沿CA方向以2cm/s的速度向終點A運動，當點E、點F中有一點運動到終點，另一點也隨之停止．設(shè)運動時間為ts．

（1）當t為何值時，△AEF和△ACD相似？
（2）如圖2，連接BF，隨著點E、F的運動，四邊形ABFE可能是直角梯形？若可能，請求出t的值及四邊形ABFE的面積；若不能，請說明理由；
（3）當t為何值時，△AFE的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

解：（1）當運動t秒時，△AEF∽△ADC時，
∴，AE=t，CF=2t，
∴AF=AC-2t
∵∠A=∠B=90°，AD=AB=6cm，BC=8cm，由勾股定理，得
AC=10cm，
∴AF=10-2t
∴，解得
t=
當運動t秒時，△AEF∽△ACD時，

∴解得：
t=

（2）設(shè)t秒后四邊形AEFB是直角梯形，延長EF交BC于點G，

∴EG⊥AD，EG⊥BC
∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∴EG∥AB，且AD∥BC
∴△CGF∽△CBA，四邊形AEGB為矩形
∴，EG=AB=6
∴，
∴
∴EF=6-，
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
t²+（6-t）²=（10-2t）²，解得
t₁=，t₂=（不符合題意應舍去）
∴EF=，AE=
∴S_{四邊形ABFE}=
=cm²

（3）過點F作MN⊥AD于M，交BC于點N
∴∠DEG=90°．
∵AD∥BC，
∴∠BGE=∠DEG=90°．
∵∠B=90°，
∴EG∥AB，
∴△CFN∽△CAB，
∴
∴，
∴MF=6-，
∴S_△AFE=
=-（t-）²+．
∴當t=時，S_△AFE最大，最大值是．
分析：（1）E、F在移動的過程中，△AEF和△ACD相似有兩種情況，△AEF∽△ACD和△AEF∽△ADC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出t的值．
（2）E、F移動t秒后ABFE是直角梯形，則FE⊥AD，延長EF交BC于點G，同樣利用三角形相似把FG表示出來，從而求出EF，根據(jù)勾股定理建立等量關(guān)系求出t值，就可以求出梯形的面積．
（3）過點F作MN⊥AD于M，交BC于點N，可以證明△CFN∽△CAB，表示出FN，從而表示出FM，利用三角形的面積公式及uky表示出三角形的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，從而求其解．
點評：本題是一道有關(guān)直角梯形的結(jié)合解答題，考查了二次函數(shù)的最值，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運用．