Question

如圖，拋物線y＝x²－2x＋c的頂點(diǎn)A在直線l：y＝x－5上．

(1)求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C．D(C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè))，試判斷△ABD的形狀；

(3)在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、A．B．D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x＝＝1，且頂點(diǎn)A在y＝x－5上， 　　∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1－5＝－4， 　　∴A(1，－4)． 　　(2)△ABD是直角三角形． 　　將A(1，－4)代入y＝x2－2x＋c，可得，1－2＋c＝－4，∴c＝－3， 　　∴y＝x2－2x－3，∴B(0，－3) 　　當(dāng)y＝0時(shí)，x2－2x－3＝0，x1＝－1，x2＝3 　　∴C(－1，0)，D(3，0)， 　　BD2＝OB2＋OD2＝18，AB2＝(4－3)2＋12＝2，AD2＝(3－1)2＋42＝20， 　　BD2＋AB2＝AD2， 　　∴∠ABD＝90°，即△ABD是直角三角形． 　　(3)存在． 　　由題意知：直線y＝x－5交y軸于點(diǎn)A(0，－5)，交x軸于點(diǎn)F(5，0) 　　∴OE＝OF＝5，又∵OB＝OD＝3 　　∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形 　　∴BD∥l，即PA∥BD 　　則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖， 　　過點(diǎn)P作y軸的垂線，過點(diǎn)A作x軸的垂線并交于點(diǎn)C 　　設(shè)P(x1，x1－5)，則G(1，x1－5) 　　則PC＝|1－x1|，AG＝|5－x1－4|＝|1－x1| 　　PA＝BD＝3 　　由勾股定理得： 　　(1－x1)2＋(1－x1)2＝18，x12－2x1－8＝0，x1＝－2，4 　　∴P(－2，－7)，P(4，－1) 　　存在點(diǎn)P(－2，－7)或P(4，－1)使以點(diǎn)A．B．D．P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

提示：

二次函數(shù)綜合題．