Question

【題目】如圖，拋物線C1：y＝－x2＋2x的頂點(diǎn)為A，與x軸的正半軸交于點(diǎn)B.

(1)將拋物線C1上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都擴(kuò)大到原來的2倍，求變換后得到的拋物線的表達(dá)式；

(2)將拋物線C1上的點(diǎn)(x，y)變?yōu)?kx，ky)(|k|＞1)，變換后得到的拋物線記作C2，拋物線C2的頂點(diǎn)為C，求拋物線C2的表達(dá)式(用k表示)；

(3)在(2)條件下，點(diǎn)P在拋物線C2上，滿足S△PAC＝S△ABC，且∠ACP＝90°.當(dāng)k＞1時，求k的值．

Answer 1

【答案】(1)y＝－x2＋2x；(2) y＝－x2＋2x；(3) k=

【解析】(1)由拋物線C1解析式求出A、B及原點(diǎn)坐標(biāo),將三點(diǎn)坐標(biāo)都擴(kuò)大到原來的2倍,利用待定系數(shù)法求解可得;
(2)與(1)同理,利用待定系數(shù)法可得拋物線C2的解析式;
(3)求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo),根據(jù) S△PAC＝S△ABC知BP∥AC,繼而可得△ABO是邊長為2的正三角形,四邊形CEBP是矩形,表示出點(diǎn)P的坐標(biāo),將其代入到拋物線C2解析式可求得k的值.

解：(1)∵y＝－x2＋2x＝－ (x－1)2＋，

∴拋物線C1經(jīng)過原點(diǎn)O，點(diǎn)A(1，)和點(diǎn)B(2，0)三點(diǎn)，

∵將拋物線C1上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都擴(kuò)大到原來的2倍，

∴變換后的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，(2，2)和(4，0)三點(diǎn)．

設(shè)變換后拋物線的表達(dá)式為y＝ax2＋bx，將(2，2)和(4，0)代入，

得，解得.

∴變換后拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋2x；

(2)∵拋物線C1經(jīng)過原點(diǎn)O，點(diǎn)A(1，)和點(diǎn)B(2，0)三點(diǎn)，

將拋物線C1上的點(diǎn)(x，y)變?yōu)?/span>(kx，ky)(|k|＞1)，變換后得到的拋物線記作C2，則拋物線C2過原點(diǎn)O，(k，k)，(2k，0)三點(diǎn)，

∴拋物線C2的表達(dá)式為y＝－x2＋2x；

(3)∵y＝－x2＋2x＝－ (x－k)2＋k，

∴O，A，C三點(diǎn)共線，且頂點(diǎn)C為(k， k)．

如答圖，∵S△PAC＝S△ABC，k＞1，∴BP∥AC，

過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，過點(diǎn)B作BE⊥AO于E.

由題意知△ABO是邊長為2的正三角形，四邊形CEBP是矩形，

∴OE＝1，CE＝BP＝2k－1，∵∠PBD＝60°，

∴BD＝k－，PD＝ (2k－1)，

∴P，

∴ (2k－1)＝－，解得k＝.