Question

（2012•路北區(qū)一模）如圖，拋物線y=（x+1）²+k與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，-3）．
（1）求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸及k值；
（2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P，使得PA+PC的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限，當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（4）若點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，拋物線上是否存在點(diǎn)F，使以A、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式即可得到拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1，然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可求出k=-4；
（2）令y=0得到（x+1）²-4=0，解得x₁=1，x₂=-3，可確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），再利用待定系數(shù)法確定直線AC的關(guān)系式為y=-x-3，由于使得PA+PC的值最小的點(diǎn)P為直線AC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，把x=-1代入y=-x-3即可確定P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）連接OM，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，（x+1）²-4），利用S_{四邊形AMCB}=S_△AMO+S_△CMO+S_△CBO可得到S_{四邊形AMCB}=-

3

2

x²-

9

2

x+6，配方得到S=-

3

2

（x+

3

2

）²+

75

8

，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題得到當(dāng)x=-

3

2

時(shí)，S最大，最大值為

75

8

；同時(shí)可得到M點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）討論：當(dāng)以AB為對(duì)角線，利用EA=EB和四邊形AFBE為平行四邊形得到四邊形AFBE為菱形，則點(diǎn)F也在對(duì)稱(chēng)軸上，即F點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，所以F點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4）；當(dāng)以AB為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EF=AB=4，則可確定F的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式得到F點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

解答：解：（1）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1，
把C（0，-3）代入y=（x+1）²+k得-3=1+k，
∴k=-4；
（2）連接AC，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，如圖1，
對(duì)于y=（x+1）²-4，令y=0，則（x+1）²-4=0，解得x₁=1，x₂=-3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
設(shè)直線AC的關(guān)系式為：y=mx+b，
把A（-3，0），C（0，-3）代入y=m x+b得

-3m+b=0 b=-3

，解得

m=-1 b=-3

，
∴直線AC的關(guān)系式為y=-x-3，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=1-3=-2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2）；
（3）連接OM，如圖1，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，（x+1）²-4）
S_{四邊形AMCB}=S_△AMO+S_△CMO+S_△CBO=

1

2

×AO×|y_m|+

1

2

×CO×|x_m|+

1

2

×OC×BO
=

3

2

[4-（x+1）²]+

1

2

×3×（-x）+

1

2

×3×1
=-

3

2

x²-

9

2

x+6
=-

3

2

（x+

3

2

）²+

75

8

，
當(dāng)x=-

3

2

時(shí)，S最大，最大值為

75

8

；
此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

2

，-

15

4

）；
（4）存在．點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1，-4）、（3，12）、（-5，12）．
當(dāng)以AB為對(duì)角線，如圖2，
∵四邊形AFBE為平行四邊形，
而EA=EB，
∴四邊形AFBE為菱形，
∴點(diǎn)F也在對(duì)稱(chēng)軸上，即F點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4）；
當(dāng)以AB為邊時(shí)，如圖3，
∵四邊形AFBE為平行四邊形，
∴EF=AB=4，即F₂E=4，F(xiàn)₁E=4，
∴F₁的橫坐標(biāo)為3，F(xiàn)₂的橫坐標(biāo)為-5，
對(duì)于y=（x+1）²-4，
當(dāng)x=3時(shí)，y=16-4=12；
當(dāng)x=-5時(shí)，y=16-4=12，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（3，12）或（-5，12）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象為拋物線，其頂點(diǎn)式為y=a（x-

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=-

b

2a

，當(dāng)a＞0，y_最小值=

4ac-b2

4a

；當(dāng)a＜0，y_{最，大值}=

4ac-b2

4a

；拋物線上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足拋物線的解析式；對(duì)于特殊四邊形的判定與性質(zhì)要熟練運(yùn)用．